【突破满分数学】2020届高三数学之函数与导数 1

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专题04 函数与导数之零点问题 一．考情分析　　零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.二．经验分享1.确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点． 2.导数研究函数图象交点及零点问题 利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数；②求导；③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；⑤解不等式得解.探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.三、题型分析（一）确定函数的零点与方程根的个数问题例1.【四川省成都七中2020届高三上半期考试，理科数学，12】函数是定义在R上的偶函数，周期是4，当时，，则方程的根个数为（    ）A.3         B.4           C.5          D.6【答案】C【解析】是定义在R上的偶函数，周期是4，当时，，根据性质我们可以画出函数图像，方程的根个数转化成的交点个数，有图像可以看出，一共有5个交点，ABCDE.其中我x=8处是要仔细看图，是易错点。我们将图像放大在时，可以看到有两个交点。【变式训练1】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】定义在实数集上的函数,满足,当时,.则函数的零点个数为（   ）A．                    B．                   C.                  D．【答案】B【解析】是偶函数,图象关于直线对称,周期是,画图可得,零点个数为,故选B.【变式训练2】 【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数满足,当时,,若在上,方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是（    ）A.        B.      C.     D. 【答案】D【解析】由题意,时,当时,,如图在有两解,有两解,设函数在上单调递减,在上单调递增,.故选：D． 【变式训练3】已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（    ）A．3      B．4     C．5    D．6【答案】A【解析】，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，，，其函数图象如下：如图则有3个交点，故选A. 【变式训练4】若，则函数的两个零点分别位于区间（    ）A．和内        B．和内   C．和内      D．和内【答案】A【解析】由，可得，，．显然，，所以该函数在和上均有零点，故选A．（二）根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围例2.已知关于的方程恰有两解，则实数的取值范围为（    ）（A） （B） （C）  （D）【答案】C【解析】由已知得：求定义域，①当时，整理，分离常数，令，求导，令导函数等于0，得到，在，递减，在单增，；②当时，整理，分离常数，令，求导，令导函数等于0，得到，在，单调递减，在单调递增，，恰好有两个解，结合函数图像得的取值范围为（C），所以正确答案是C。 
【变式训练1】【高2020届泸州高三第一次教学质量诊断性考试数学文科理科试题，12题】已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，函数的最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有三个零点，则实数k的取值范围（   ）A.   B.   C.  D.【解析】因为函数的图像与函数的图像关于直线对称；所以：，再根据：，且周期，画出图像： 函数有三个零点有三个交点，讨论k的不同情况：①，此时会有无数多的交点，不符合题意，舍去；②，此时只会有一个交点，也不符合题意，舍去；③,要保证有三个交点，我们做出图像：由图像可以得出：【变式训练2】 【第12题】已知偶函数满足，当时，；若函数有3个零点，则k的取值范围（   ）A.    B.   C.   D.【解析】由已知得：偶函数满足，满足所以周期是2，然后是偶函数。的函数图像为图中红色部分；函数有3个零点有三个交点；分类讨论k的不同情况：①，此时会有无数多的交点，不符合题意，舍去；②，此时只会有一个交点，也不符合题意，舍去；③,要保证有三个交点，我们做出图像：    由图像可以知道：【变式训练3】 设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为（   ）A．5          B．6         C．7        D．8【答案】B【解析】由题意知，所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B．（三）根据函数零点满足条件解不等式或证明不等式例3.已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值；（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论函数极值点的个数．【解析】(1) 由题意，，  因为的图象在处的切线与直线垂直，所以，解得.                              (2) 【法一】：由，得，即对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以， 记，因为在上单调递增，且，所以，即的取值范围是． 【法二】：由，得，即在上恒成立，因为等价于，①当时，恒成立，所以原不等式的解集为，满足题意．  ②当时，记，有，所以方程必有两个根，且，原不等式等价于，解集为，与题设矛盾，所以不符合题意．综合①②可知，所求的取值范围是． (3) 因为由题意，可得，所以只有一个极值点或有三个极值点. ……11分    令，①若有且只有一个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且只穿过一次，即为单调递增函数或者极值同号． ⅰ）当为单调递增函数时，在上恒成立，得．………12分ⅱ）当极值同号时，设为极值点，则，由有解，得，且，所以，所以              ，同理，，  所以，化简得，所以，即，   所以．所以，当时，有且仅有一个极值点；          ②若有三个极值点，所以函数的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得；综上，当时，有且仅有一个极值点，当时，有三个极值点．   【变式训练1】【2017浙江杭州地区重点中学期中】已知函数（）有四个不同的零点,则实数的取值范围是（   ）A． B． C． D．【分析】把函数（）有四个不同的零点转化为方程有三个不同的根,再利用函数图象求解【点评】 零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数问题,可以转化为函数和图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程根的个数．【变式训练2】【2018届北京北京师大附中高中三年级期中】已知函数, .若函数 恰有6个不同的零点,则m的取值范围是(    )A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】∵函数, ．∴当时,即时,则,当时,即时,则,①当,即时, 只与的图象有两个交点,不满足题意,应该舍去；②当时, 与的图象有两个交点,需要直线与函数的图象有四个交点时才满足题意,∴,又,解得,综上可得： 的取值范围是,故选D．【变式训练3】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在的函数,若关于的方程有且只有个不同的实数根,则实数的取值集合是          ．【答案】【解析】设,当时,,显然符合题意.时,一正一负根,,方程的根大于,只有根；时,两根同号,只能有一个正根在区间,而,对称轴,,,所以.所以取值集合为,故答案为.四、迁移应用1.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是A．  B．  C．   D．【答案】B【解析】：因为，所以，
当时，，当时，，，当时，，，当时，由解得或，若对任意，都有，则．
故选B． 2.已知，函数，若函数恰有3个零点，则A．a<-1，b<0             B．a<-1，b>0   C．a＞-1，b<0            D．a＞-1，b>0  【答案】C【解析】：当时，，最多一个零点；当时，，，当，即时，，在上递增，最多一个零点不合题意；
当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在上有2个零点，
如下图：
所以且，
解得，，．
故选C． 3．已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是A．      B．      C．      D．【答案】C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C． 4．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是A．                B．C．              D．【答案】B【解析】当时，，函数，在上单调递减，函数，在上单调递增，因为，，，，所以，，此时与在有一个交点；当时，，函数，在上单调递减，在上单调递增，此时，在无交点，要使两个函数的图象有一个交点，需，即，解得．选B．5．已知函数=（,且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是A．(0，]     B．[，]     C．[，]{}   D．[，）{}【答案】C【解析】当时，单调递减，必须满足，故，此时函数在上单调递减，若在上单调递减，还需，即，所以．当时，函数的图象和直线只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解．因此，只需当时，方程只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程，即在上恰有唯一的实数解．判别式，当时，，此时满足题意；令，由题意得，即，即时，方程有一个正根、一个负根，满足要求；当，即时，方程有一个为0、一个根为，满足要求；当，即，即时对称轴，此时方程有两个负根，不满足要求；综上实数的取值范围是． 6．若是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于A．6         B．7         C．8         D．9【答案】．D【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．7．对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．－1是的零点                B．1是的极值点C．3是的极值                  D．点在曲线上【答案】A【解析】由A知；由B知，；由C知，令可得，则，则；由D知，假设A选项错误，则，得，满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A．8．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A．       B．       C．      D．【答案】C【解析】∵，，，∴零点的区间是． 9．已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的集合为   A．       B．      C．   D． 【答案】D【解析】当时，函数的零点即方程的根，由，解得或3；当时，由是奇函数得，即，由得（正根舍去）．10．若，则函数的两个零点分别位于区间A．和内        B．和内   C．和内      D．和内【答案】A【解析】由，可得，，．显然，，所以该函数在和上均有零点，故选A．11．函数的零点个数为A．1      B．2       C．3       D．4【答案】B【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．12．函数的零点个数为A．0        B．1          C．2         D．3【答案】B【解析】因为在内单调递增，又，所以在内存在唯一的零点．13．设函数满足，，且当时，．又函数，则函数在上的零点个数为A．5          B．6         C．7        D．8【答案】B【解析】由题意知，所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B．14．对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A．    　B．C．      D．【答案】B【解析】由题意知，若，即时，；当，即或时，，要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可，即函数的图像与直线有两个不同的交点即可，画出函数的图像与直线，不难得出答案B．15．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A．（1,1）                     B．（2,2）C．（∞，2）∪（2，+∞）     D．（∞，1）∪（1，+∞）【答案】C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即，解得或，故选C．16．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A．2           B．4        C．6         D．8【答案】D【解析】图像法求解．的对称中心是也是的中心，他们的图像在的左侧有4个交点，则右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为，则，所以选D17．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为A．6        B．7         C．8       D．9【答案】B【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为7个,选B．18．函数，的零点个数为A．0       B．1       C．2       D．3【答案】C【解析】当时，令解得；当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C．19．函数的零点所在的一个区间是A．（2，1）      B．（1，0）    C．（0，1）     D．（1，2）【答案】B【解析】因为，，所以选B．20．“”是“一元二次方程有实数解”的A．充分非必要条件        B．充分必要条件C．必要非充分条件        D．非充分非必要条件【答案】A【解析】有实数解等价于，即．当时，成立，但时，不一定成立，故选A．