2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末教学质量检测数学（理）试题含答案

长安一中2021—2022学年度第一学期期末考试

                 高二理科数学试题

一.  选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的).

1.已知，则（   ）

A．      B．        C．     D．

2.已知命题: ,命题: 则是的(   )条件.

A充分不必要      B．必要不充分       C．充要        D．既不充分也不必要

3.设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（  ）

A.  经过点                          B. 经过点        

C. 平行于直线                     D. 垂直于直线

 4.已知命题p:，﹔命题﹐，则下列命题中为假命题的是( )

A.          B.          C.         D.

5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的

可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（  ）

A．           B．            C．             D．

6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ）

A.        B.  

C.        D.

7.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（   ）

A．       B．          C．          D．

8. 若关于x的方程有解，则实数的取值范围为（  ）

A.           B.          C.          D.

9.如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(  )

A.           B.            C.                D.

10.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）

A．       B．       C．       D．

11. 已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有记，则(   )

A.      B.     C.        D.

12. 已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为(  )

A．24          B．22             C．20           D．16

 13.已知函数有两个极值点，且，则的最大值为（   ）

A．       B．       C．       D．

14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（  ）

A.             B.            C.             D.

二.  填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上).

15.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=      ．

16.若，且，则      ．

17.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）

18.空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．

19.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是___________.

① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过;

③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.

20.已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________.

三.解答题(本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21. （本小题满分12分）设为数列的前项和，且满足.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若，且成等比数列，求数列的前项和.

22.（本小题满分12分）如图，四棱台的底面为正方形，平面，．

（1）求证：平面；

（2）若平面BDG平面，求直线m与平面所成角的正弦值．

23（本小题满分13分）

已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程．

（2）设的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：．

24. （本小题满分13分）

已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.