2021-2022学年山东省实验中学高一下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年山东省实验中学高一下学期4月月考数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省实验中学高一下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．已知是边长为3的等边三角形，点在边上，且满足，点在边上及其内部运动，则的最大值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出数量积，再根据线性规划的问题求出的最大值．
【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图1所示：
则，，，，，，
设点，则，；
所以，，；
所以；
令，根据线性规划的问题知，可行域是及其内部的点；如图2所示：
平移目标函数，当目标函数经过点时，取得最大值为．
故选：A．
        （图2）
2．已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算可知为中点，从而得到，在中利用余弦定理可求得，由所求投影向量为可求得结果.
【详解】由知：为中点，
又为外接圆圆心，，，

，，，，
向量在向量上的投影为.
故选：D.
3．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（       ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可
【详解】由题意，
故为实数


或
故选：A
4．已知平面与为两个完全不重合的平面，与也为两不同的直线，则对此下列说法正确（       ）
A．若α∥β，⊥面α，则⊥面β B．若，面α∥，则∥面α
C．若α∥，β∥，则面α∥面β D．若面α⊥面β，⊥面α，则⊥面β
【答案】A
【分析】根据直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可．
【详解】解：对于A，若，面，由面面平行的性质可得面，故 A正确；
对于B，，面，则 面或面，故B错误；
对于C，，，此时面与面可能相交，故 C错误；
对于D，面面，面，则面或面，故D错误．
故选：A．
5．正方体的棱长为1，点是棱的中点，点都在球的球面上，则球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意作出图形，由题意知，为底面外接圆的圆心，由球心与截面圆圆心的连线垂直于截面可得，底面，利用三棱锥外接球的性质：球心到每个顶点的距离相等为球的半径，再利用勾股定理，解方程求出球的半径，代入球的表面积公式求解即可.
【详解】根据题意，作图如下：

由题意知，为底面外接圆的圆心，因为三棱锥外接球的球心为，
由球心与截面圆圆心的连线垂直于截面可得，底面，
设所求球的半径为，连接则，
作,则四边形为矩形，设，
在中，，即，
在中，，即，
联立方程解得，，
所以所求球的表面积为.
故选：C
【点睛】本题考查多面体的外接球问题和球的表面积公式；考查空间想象能力和运算求解能力；多面体外接球的性质：球心与截面圆圆心的连线垂直于截面和球心到每个顶点的距离相等为球的半径的运用是求解本题的关键；属于难度较大型试题、常考题型.
6．已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（       ）
A．45π B． C． D．
【答案】B
【分析】设AB＝x，（0＜x＜6），则，由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，OB为三棱锥外接球半径，取AB的中点为G，推导出△EGH的外接圆直径，从而，当x时，OB2的最小值为，由此能求出该球的表面积的最小值．
【详解】设AB＝x，（0＜x＜6），则，
由题意知三棱锥外接球的球心是过△PAB和△ABC的外心E，H，
且分别垂直这两个三角形所在平面的垂线的交点O，
OB为三棱锥外接球半径，取AB的中点为G，如图，
由条件知
在△EGH中，由余弦定理可得

∴△EGH的外接圆直径，

当时，OB2的最小值为，
∴该球的表面积的最小值为.
故选：B．

【点睛】本题考查与球有关的切接问题以及求球的表面积，涉及到正余弦定理解三角形，考查学生的空间想象能力，数学运算能力，是一道有一定难度的压轴填空题.
7．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等体积法求解
【详解】由题意高，则，
即
解得
故选：B

8．已知函数，若函数在内恰有个零点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，对实数的取值进行分类讨论，确定函数在上的零点个数，然后再确定函数在上的零点个数，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.
函数的对称轴为直线，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.
①当时，即当时，则函数在上无零点，
所以，函数在上有个零点，
当时，，则，
由题意可得，解得，此时不存在；
②当时，即当时，函数在上只有一个零点，
当时，，则，则函数在上只有个零点，
此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时；
④当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，
则，解得，此时，.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

二、多选题
9．若不共线向量、满足，则下列结论中正确的是（       ）
A．向量、的夹角恒为锐角 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据向量的减法及等腰三角形可判断A，根据数量积的定义及运算律，结合等腰三角形的性质可判断BCD.
【详解】对于A，因为不共线向量、满足，所以由向量组成的三角形是等腰三角形，且向量是底边，所以向量，的夹角恒为锐角，A正确；
对于B，，所以B不正确；
对于C，，
即，故，
又
故C正确；
对于D，若，类似C中，平方后化简可得，
所以有，即，而不一定成立，例如，所以D不正确．
故选：AC
10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（   ）
A．复数对应的点位于第二象限 B．为纯虚数
C．复数的模长等于 D．的共轭复数为
【答案】ABC
【分析】利用欧拉公式把选项A，B，D化成复数的代数形式即可计算判断；利用欧拉公式把选项C的分子化成复数的代数形式，再进行除法运算判断即得.
【详解】对于A，，因，即，复数对应的点位于第二象限，A正确；
对于B，，为纯虚数，B正确；
对于C，，
于是得，C正确；
对于D，，其共轭复数为，D不正确.
故选：ABC
11．香囊，又名香袋､花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（       ）

A．AB⊥DE B．直线CD与直线EF所成的角为45°
C．该六面体的体积为 D．该六面体内切球的表面积是
【答案】AD
【分析】对应展开图的各点，标出立体图形的各顶点.利用线面垂直，可以得到线线垂直；与分别为正三角形的边，其所成的角为；把几何体分割成二个四面体求体积；计算内切球的半径，就可以求内切球的表面积.
【详解】由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，其中四点重合.
对于A：
取的中点，连接，则.
又
平面
又平面

故正确.
对于B：
由图可知，与分别为正三角形的边，其所成的角为
故错误.
对于C：
连接，过点作平面，则垂足在上，且，

该六面体的体积
故C错误.
对于D：
该六面体的各棱长相等
其内切球的球心必在公共面上
又为正三角形
点即为该六面体内切球的球心，且该球与相切
过点作，则就是内切球的半径.
在Rt中，


该内切球的表面积为
故D正确
故选：AD.

12．如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（       ）

A．三棱锥的体积恒为定值
B．存在唯一的点E，使得截面的周长取得最小值
C．不存在点E，使得平面
D．若点E满足，则在棱上存在相应的点G，使得∥平面
【答案】ABD
【分析】选项A：易证平面，则点到平面的距离为定值，又底面的面积为定值，由等体积法可判断三棱锥的体积为定值，则选项A正确；
选项B：将侧面翻折到与底面同一平面，得矩形，连接，与的交点即为周长最小时的点，则选项B正确；
选项C：由题可证得，则只需作，即可证得，那么平面成立，则选项C错误；
选项D：要使∥平面，则考虑在平面内找到一条直线与平行.将平面与长方体表面的交线作出来，这样更利用下一步构造平行四边形证明线线平行.
【详解】选项A：由可证平面，
则点到平面的距离为定值，又底面的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，
由等体积法可判断三棱锥的体积为定值，则选项A正确；
选项B：将侧面翻折到与底面同一平面，得矩形，
连接，与交于点，即为周长最小时的点，则选项B正确；

选项C： 连接，在底面内过点作，交于点，
又由长方体可知平面，则，
由可证得平面，则
连接，由可知四边形是正方形，则，
因，则平面，选项C错误；

选项D：当时，在棱上取点，使，
连接，则可证得四边形为平行四边形.
过点作，交棱于点，
则四边形 为平行四边形，.
又过点作，交于点，
连接，再过点作，交于点，
则四边形也为平行四边形，，则，
连接，则四边形为平行四边形，.
因平面，平面，则选项D正确.

故选：ABD.

三、填空题
13．设向量 满足 ，则_____
【答案】1
【分析】将已知两向量等式，两边平方后相减，即可求得答案.
【详解】由题意得：，
即 ，
∴，
故答案为：1
14．已知，则__________．
【答案】6
【分析】由已知通过两角差的正弦公式得即，再由同角三角函数的基本关系求解，考查运算求解能力.
【详解】因为，所以，即，所以，所以．
故答案为：6
15．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，则______．
【答案】
【分析】利用正弦定理，化边为角，再转化，展开化简可得，结合的范围，即得解
【详解】因为，由正弦定理：
所以，
所以，
因为，所以，
因为为三角形的内角，则．
故答案为：
16．△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c＝2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是________ ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式得到，利用角A的三角函数表达出，利用数形结合及的几何意义求出最值.
【详解】因为△ABC的面积为1，所，可得，
由，可得
，
设，其中，
因为表示点与点（cosA，sinA）连线的斜率，
如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，

在直角△OAP中，，可得，
所以斜率的最小值为，
所以m的最大值为，所以，所以，即BC的最小值为，
故答案为：．
【点睛】解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.

四、解答题
17．已知，.
(1)与夹角的余弦值；
(2)若与垂直，求k的值.
【答案】(1)；
(2)0.
【分析】（1）根据向量夹角的坐标公式，计算即可；
（2）求得与的坐标，利用向量垂直的坐标表达公式，求解即可.
【详解】(1)因为，，故.
(2)因为，，故，，
又向量与垂直，则，解得.
18．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.问题：在△中，角的对边分别为，且___________
(1)求角B的大小；
(2)，求△周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据不同的选择，结合正余弦定理，即可求得；
（2）根据余弦定理，求得的等量关系，结合基本不等式即可求得三角形周长的范围.
【详解】(1)若选①：在△ABC中，因为，
故由可得，
由正弦定理得：，即，
则，又，故.
若选②：，
则，故，
，则，
解得.
若选③：由及正弦定理，，
又，所以，
即，因为，所以，
又，得.
综上所述：选择①②③，都有.
(2)根据（1）中所求，，又，
故由余弦定理可得
则，即，
当且仅当时取得等号，又，

△周长的取值范围为.
19．已知.
(1)求的最小正周期及对称轴方程；
(2)求函数在区间上的最大值和相应的x值.
【答案】(1),对称轴方程为
(2)时，函数有最大值为3.
【分析】（1）根据数量积定义表示出函数，然后利用二倍角和降幂公式化简，然后由周期公式和对称性可得；
（2）根据自变量范围求得，然后根据正弦函数性质可得.
【详解】(1)由题知，

所以的最小正周期
由，得对称轴方程为
(2)因为，
所以，
当，即时，函数有最大值.
20．在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，，，为与的交点，点H为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据三角形的中位线，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）以A为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】(1)证明：如图所示，连接，因为四边形是矩形，，
所以是的中点，
因为H是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
(2)解：由条件可知，，两两垂直，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，所以，
取，可得，所以.
设平面的法向量为，所以，
取，可得，所以，
所以，
由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

21．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.

(1)证明：平面DEF；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，再证明，根据线面垂直的判定定理可证明结论；
（2）先推出三棱锥的体积最大时，点E，F分别是，的中点，由此再求二面角的余弦值；
法一：通过证线面垂直可说明是二面角的平面角，解直角即可求得答案；
法二：建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.
【详解】(1)证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.

因为AD，EF是圆柱的母线，所以且,
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 ,
所以.
因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE,
又因为平面ABE，
所以.
又因为，DF，平面DEF，
所以平面DEF.
(2)由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，
由（1）知，，所以，
即底面三角形DEF是直角三角形.
设，，则,
所以，
当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，
三棱锥的体积最大,
下面求二面角的余弦值：
法一：
由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以.
又因为，，所以平面BEF.
因为平面BEF，所以,所以是二面角的平面角,
由（1）知为直角三角形，则.
故,
所以二面角的余弦值为.
法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，
如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则.
由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取为.
设平面BDF的法向量为，由，，
得，即，即，
取，得.
设二面角的平面角为θ,
则，
由图可知θ为锐角，所以二面角的余弦值为.
22．在①平面，②平面平面，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）．

（1）求点到平面的距离；
（2）若__________，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用等体积，转换顶点即可；（2）建立空间直角坐标系，求其法向量，表示出线面角的正弦值，按照求值域的思路适当换元求范围即可.
【详解】（1）在三棱锥中，连接，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面
∴平面
又平面∴∴，，两两垂直.
∴
又
∴
∴点到平面的距离为.
（2）与平面所成角的正弦值的取值范围为．
以选条件①为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）
在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，，
，
设平面的法向量为，则
即即，
不妨令，则
同理可求得平面的法向量
（选条件①）因为平面，平面
∴即
即∴
又∴∴
又平面，∴是平面的一个法向量
设直线与平面所成角为，则

令，，
∴
令，则
∴在上单调递增
∴，∴，∴
∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
选条件②，条件③结果相同.
【点睛】本题的难点在表示出正弦值后值域的求法，可以适当换元，借助导数工具求解.