数学必修 第一册5.5 三角恒等变换第二课时导学案

第2课时　辅助角公式及三角函数公式的综合应用

[课程目标] 掌握辅助角公式，能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值，并能进行一些简单的应用．

知识点　辅助角公式

1．y＝a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中cos φ＝____，sin φ＝____，tan φ＝____.

2．y＝a sin x＋b cos x＝cos (x－φ)，其中sin φ＝____，cos φ＝____，tan φ＝____.

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)y＝sin x＋cos x的最大值为2.(　×　)

(2)y＝cos x＋sin x＝2sin .(　√　)

(3)y＝3sin x－4cos x的最小值为－5.(　√　)

(4)y＝sin x－cos x的值域是.(　√　)

【解析】 (1)y＝sin x＋cos x＝sin ，最大值为.

(2)y＝cos x＋sin x＝2＝2sin .

(3)y＝3sin x－4cos x＝5＝5sin (x－θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，

当x＝2kπ－＋θ，k∈Z时，函数取得最小值－5.

(4)y＝sin x－cos x＝sin (x－θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，函数的值域是.

 y＝3sin x＋3cos x的周期是__2π__，最大值是__6__．

【解析】 y＝3sin x＋3cos x＝3(sin x＋cos x)＝6＝6sin ，

所以函数的周期T＝2π，最大值为6.

活学活用

化简：sin ＋cos .

解：原式＝

＝

＝sin ＝sin .

 已知函数f(x)＝2a sin ωx cos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值为2，设x1，x2是函数f(x)的任意两个零点，|x1－x2|的最小值为.

(1)求a，ω的值；

(2)若f(α)＝，求sin的值．

解：(1)f(x)＝a sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin (2ωx＋φ)，

其中tan φ＝，由题意知 ＝2，a>0，则a＝1.

因为|x1－x2|的最小值为，所以f(x)的周期为π，

则＝π，解得ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝2sin .

由f(α)＝知，2sin ＝，

即sin ＝，

所以sin ＝sin ＝－cos

＝－1＋2sin2＝－1＋2×＝－.

活学活用

已知函数f(x)＝sin x(2cos x－sin x)＋cos2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若<α<，且f(α)＝－，求sin2α的值．

解：(1)因为f(x)＝sin x(2cos x－sin x)＋cos2x

＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos 2x＝sin ，

所以函数f(x)的周期是π.

(2)f(α)＝－，即sin ＝－，

则sin ＝－.

因为＜α＜，所以＜2α＋＜，

所以cos ＝－，

所以sin 2α＝sin

＝sin －cos

＝×－×＝.

 如图所示，四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ，CR分别落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．

例3题图

　　　例3题答图

解：如图所示，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于点M，则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ，

所以PQ＝MB＝100－90cos θ，

PR＝MR－MP＝100－90sin θ，

所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)·(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.

令t＝sin θ＋cos θ，t∈[1，]，则sin θcos θ＝，

所以S矩形PQCR＝10 000－9 000t＋8 100×

＝4 050＋950.

故当t＝时，S矩形PQCR的最小值为950 m2；

当t＝时，S矩形PQCR的最大值为(14 050－9 000)m2.

活学活用

 如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C，D为半圆上的点．

(1)请你确定点C的位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；

(2)已知AD＝DC，设∠ABD＝θ，当θ为何值时，四边形ABCD的周长最大？并求出最大值．

活学活用图

　　活学活用答图

解：(1)如图，当C在半圆中点位置时， △ABC的周长最大．理由如下：

因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，

所以∠ACB＝，即△ABC是直角三角形．

设BC＝a，AC＝b，∠ABC＝α，又AB＝2，则a＝2cos α，b＝2sin α，

△ABC的周长＝a＋b＋2＝2cos α＋2sin α＋2＝2(cos α＋sin α)＋2

＝2sin ＋2.

因为0<α<，所以<α＋<，

所以当α＋＝，即α＝时， △ABC的周长取得最大值2＋2，

此时C是半圆的中点．

(2)因为AD＝DC，所以∠ABD＝∠DBC＝θ，

所以AD＝DC＝AB sin θ＝2sin θ，CB＝AB cos 2θ＝2cos 2θ.

设四边形ABCD的周长为p，

则p＝AD＋DC＋CB＋AB

＝4sin θ＋2cos 2θ＋2＝4sin θ＋2(1－2sin2θ)＋2

＝5－4.

显然θ∈，所以当θ＝时，p取得最大值5.

1．sin x－cos x等于(　C　)

A．2sin

B．sin

C．2sin

D．sin

【解析】 sin x－cos x＝2＝2sin .

2．函数y＝sin cos x的最大值为(　B　)

A．    B．

C．1    D．

【解析】 y＝sin cos x＝sin x cos cos x－

cos x sin cos x＝sin x cos x－cos2x＝sin2x－·＝sin 2x－－cos 2x＝sin －，

∴ymax＝－＝.

3．函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x＋1的最小正周期是(　B　)

A．2π    B．π

C．    D．

【解析】 由题意得f(x)＝sin ＋，

所以最小正周期T＝π.

4．要把半径为R的半圆形木料截成长方形，则长方形的截面面积的最大值是__R2__．

【解析】 如图所示，设圆心为O，长方形的截面面积为S，∠AOB＝α，

则AB＝R sin α，OB＝R cos α，

S＝R sin α·2R cos α＝2R2sin αcos α＝R2sin 2α.

当sin 2α取到最大值，即sin 2α＝1时，长方形的截面面积最大．

此时α＝，长方形的截面面积的最大值为R2.

5．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos2A等于__－__．

【解析】 在△ABC中，＝－，所以sin2＋

cos2A＝sin2＋cos2A＝cos2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2×－1＝＋－1＝－.