高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数导学案及答案

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幂函数[课程目标] 1.理解幂函数的概念；2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质． 知识点一　幂函数的概念一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是__自变量__，α是常数. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)一次函数和二次函数都是幂函数．(　×　)(2)f(x)＝2x3是幂函数．(　×　)(3)f(x)＝x－5是幂函数．(　√　)【解析】 (1)不一定．如y＝2x－5，y＝x2＋2x分别为一次函数和二次函数，但它们都不是幂函数．(2)f(x)＝2x3中x3的系数不是1，所以f(x)＝2x3不是幂函数． 知识点二　幂函数的图象与性质1．五个幂函数的图象2．五个幂函数的性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，__增__；x∈(－∞，0]时，__减__增增x∈(0，＋∞)时，__减__；x∈(－∞，0)时，__减__公共点都经过点__(1，1)__3．一般幂函数的图象及性质(1)所有幂函数在区间__(0，＋∞)__上都有定义，并且图象都通过点__(1，1)__．(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间(0，＋∞)上__单调递增__．当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上__单调递减__，图象不通过原点，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象无限接近于__y__轴，当x趋向于正无穷时，图象无限接近于__x__轴.  判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)幂函数的图象不经过第四象限．(　√　) (2)当α为奇数时，幂函数是奇函数．(　√　)(3)函数f(x)＝x－2在(－∞，0)上单调递增．(　√　) 已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1的图象与坐标轴没有交点，则m＝__－1__．【解析】 依题意有，m2－2m－2＝1，即m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.当m＝3时，f(x)＝x11经过原点，与坐标轴有交点，不合题意，而m＝－1时符合题意． 活学活用已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点，则f(6)＝____.【解析】 依题意有，＝()m＝3，所以＝－1，m＝－2，所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝.  如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取(　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A． ，－2，    B．－2，，C．－2，，    D． ，，－2  活学活用幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　B　)A．－1<n<0<m<1B．n<－1，0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1【解析】 此类题有一简捷的解决办法，在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，根据“点低指数大”．所以0<m<1，n<－1.[规律方法]解决幂函数的图象问题，需把握两个原则：(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(2)由图象确定幂指数α与0，1的大小关系，需根据幂函数在第一象限内的图象来判断．【迁移探究】已知函数f(x)＝若存在实数b，使方程f(x)－b＝0有两个根，则a的取值范围是__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．【解析】 存在实数b，使方程f(x)－b＝0有两个根⇔存在实数b，函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点．当a<0时，y＝f(x)在(a，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，所以存在实数b∈(0，a2)，使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点；当0≤a≤1时，y＝f(x)在R上单调递增，所以不存在实数b，使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点；当a>1时，y＝f(x)在(－∞，a)上单调递增，(a，＋∞)上也单调递增，所以存在实数b∈(a2，a3)，使函数y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点．综上可得，a∈(－∞，0)∪(1，＋∞). 已知幂函数y＝f(x)的图象过点P.讨论y＝f(x)的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出草图．解：设f(x)＝xn，由题意得＝4，所以2－n＝22，得n＝－2，所以f(x)＝x－2，即f(x)＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为x≠0，x2>0，所以f(x)>0，即函数的值域为(0，＋∞).又f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝－＝>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．作出函数的图象大致如图所示．[规律方法]1．幂函数f(x)＝xα的单调性：如果α>0，幂函数在(0，＋∞)上单调递增， 如果α<0，幂函数在(0，＋∞)上单调递减. 2．利用幂函数的单调性比较大小时要注意：比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小． 活学活用已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求函数f(x)的解析式，并画出它的草图．解：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，即－1<m<3.又m∈Z，所以m＝0，1，2.因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，所以m2－2m－3是偶数，将m＝0，1，2分别代入m2－2m－3检验得，m＝1.此时f(x)＝x－4，作出函数的图象如图所示．【迁移探究1】已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．解：因为幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又m∈N*，所以m＝1，2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，所以有(a＋1)－<(3－2a)－．又因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，所以a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得<a<或a<－1，即a的取值范围为(－∞，－1)∪.【迁移探究2】已知函数f(x)＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．解：f(x)＝＝m－，y＝－的图象y＝－的图象y＝m－的图象．又y＝－在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递增，且关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增，且关于直线x＝1对称，又1－(－π)>5－1，所以f(5)<f(－π).1．在函数y＝，y＝2x3，y＝－1，y＝x0中，幂函数的个数是(　C　)　　　　　　　　　　　　　　 A． 0    B． 1C． 2    D． 3【解析】 y＝和y＝x0是幂函数，故选C.2．下列函数中，定义域为R的函数是(　C　)A． y＝xB． y＝x－C． y＝xD． y＝x－3【解析】 y＝x＝，定义域为[0，＋∞)；y＝x－＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；y＝x＝，定义域为R；y＝x－3＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).故选C.3．下列不等式成立的是(　A　)A．>B．<C．>D．8－<【解析】 幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，所以>.所以选项A正确．4．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f＝____．【解析】 设幂函数为y＝xα(α为常数).因为f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，得α＝.所以y＝x，所以f＝＝.5．若(a＋1)<(2a－2)，则实数a的取值范围是__(3，＋∞)__．【解析】 因为幂函数y＝x在R上为增函数，且(a＋1)<(2a－2)，所以a＋1<2a－2，得a>3.