高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积评课ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积评课ppt课件，共47页。PPT课件主要包含了必备知识生成，围成多面体的各个面的，围成它们的各个面的，关键能力探究，思路探究，展开图，课堂素养达标等内容，欢迎下载使用。
【情境探究】1.观察棱柱、棱锥、棱台(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)的表面展开图,各几何体的表面积与展开图中的各部分平面图形的面积有何关系?提示:各几何体的表面积等于展开图中各部分平面图形的面积之和.
2.棱柱、棱锥、棱台的高分别指什么?提示:棱柱的高是指两底面之间的距离;棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离;棱台的高是指两底面之间的距离.
3.一个几何体的平面展开图一定相同吗?其表面积是否确定?提示:不同的展开方式,几何体的平面展开图不一定相同;表面积是各个面的面积和,几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定.4.棱柱、棱锥、棱台的体积与这些几何体的哪些量有关?提示:它们的体积与这些几何体的底面积和高有关.
【知识生成】1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是_____________________面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是___________________面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
探究点一　求棱柱、棱锥、棱台的表面积【典例1】已知正四棱锥底面边长为4,高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积.【思维导引】根据多面体的侧面积公式,可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高,进而由公式求解.
【解析】如图所示,设正四棱锥的高为PO,斜高为PE,底面边心距为OE,它们组成一个直角三角形POE.因为OE= =2,∠OPE=30°,所以PE= =4.所以S正四棱锥侧= ch′= ×(4×4)×4=32,S表面积=42+32=48.即该正四棱锥的侧面积是32,表面积是48.
【类题通法】棱锥的表面积求法(1)要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所需的条件,一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.(2)空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形的运算,往往通过解三角形来完成.提醒:(1)多面体的侧面积是各个侧面的面积之和.(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
【定向训练】1.正三棱锥的底面边长为a,高为 a,则此棱锥的侧面积等于(　　)
【解析】选A.如图,在三棱锥S-ABC中,AB=a,SO= a, 于是OD= ·AB·sin 60°= a,从而SD= 故三棱锥的侧面积为S=
2.一个正四棱柱的体对角线的长是9 cm,全面积等于144 cm2,则这个棱柱的侧面积为________ cm2. 【解析】设底面边长,侧棱长分别为a cm,l cm,所以S侧=4×4×7=112(cm2)或S侧=4×6×3=72(cm2).答案:112或72
【补偿训练】 1.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O, 对角线A1C=15,B1D=9,所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.因为该直四棱柱的底面是菱形,所以AB2= 所以AB=8.所以直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
2.若正方体的棱长为 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　)
【解析】选B.所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为 的四棱锥的侧面积之和,如图,四棱锥的侧棱长l= =1, 所以以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积:S=8× ×1×1×sin 60°=2 .
探究点二　棱柱、棱锥、棱台的体积【典例2】如图所示,在长方体ABCD -A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C -A′DD′,求棱锥C -A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.【思维导引】先求出棱锥的体积,再求得剩余部分的体积,最后求得体积之比.
【解析】方法一:设AB=a,AD=b,DD′=c,则长方体ABCD -A′B′C′D′的体积V=abc,又S△A′DD′= bc且三棱锥C -A′DD′的高为CD=a.所以V三棱锥C -A′DD′= S△A′D′D·CD= abc.则剩余部分的几何体体积V剩=abc- abc= abc.故V棱锥C -A′DD′∶V剩= abc∶ abc=1∶5.
方法二:已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′,设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C -A′DD′的底面面积为 S,高为h,因此棱锥C -A′DD′的体积VC -A′DD′= × Sh= Sh.剩余部分的体积是Sh- Sh= Sh.所以棱锥C -A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 Sh∶ Sh=1∶5.
【类题通法】求几何体体积的常用方法:
【知识延拓】 如图,三棱台ABC -A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1 -ABC,三棱锥B -A1B1C,三棱锥C -A1B1C1的体积之比.
【解析】设棱台的高为h,S△ABC=S,则 =4S.
【规律方法】三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥,分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系,割补法在立体几何中是一种重要的方法.
【定向训练】1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为(　　)A.48　　　　B.64　　　　C.16　　　　D.96【解析】选B.设正方体的棱长为a,则6a2=96,所以a=4.所以其体积V=a3=43=64.
2.如图,在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中,求A到平面A1BD的距离d.
【解析】在三棱锥A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D= a,
探究点三　简单几何体的表面积和体积【典例3】如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥ AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.【思维导引】将几何体分割成两个棱锥求解.
【解析】如图,连接EB,EC,AC. = ×42×3=16. 因为AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.
【类题通法】割补法是求不规则几何体体积的常用求法,解此类题时,分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体,且体积易求.
【知识延拓】三棱锥体积公式的推导已知三棱锥A1-ABC的底面积为S,高为h,则 = Sh.把三棱锥①以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥,就是三棱锥①和另两个三棱锥②,③.
三棱锥①,②的底△ABA1、△B1A1B的面积相等,高也相等(顶点都是C);三棱锥②,③的底△BCB1、△C1B1C的面积相等,高也相等(顶点都是A1),所以V①=V②=V③,因为V三棱柱=Sh.所以V三棱锥= Sh.
【方法总结】求组合体表面积和体积的关键求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.
【定向训练】1.如图,某几何体下面部分为正方体ABCD -A′B′C′D′,上面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为______. 
【解析】V正方体=23=8,VS-ABCD= ×22×(5-2)=4.V=V正方体+VS-ABCD=12.答案:12
2.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD -A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g. 
【解析】S四边形EFGH=4×6-4× ×2×3=12(cm2),V=6×6×4- ×12×3=132(cm3).m=ρV=0.9×132=118.8(g).答案:118.8
1.数学抽象：棱柱、棱锥、、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
求多面体表面积1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.27 cm3B.60 cm3C.64 cm3D.125 cm3【解析】选B.V长方体=3×4×5=60(cm3).
2.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为(　　)A.6B.12C.24D.48【解析】选D.正四棱锥的斜高h′= =4,S侧=4× ×6×4=48.
3.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(　　)
【解析】选A.如图所示,正方体的A′、C′、D、B四个顶点可构成一个正四面体,设正方体棱长为a, 则正四面体棱长为 a.所以正方体表面积S1=6a2,正四面体表面积为S2=
4.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是______.  
【解析】易知该几何体是正四棱锥.设正四棱锥为P-ABCD,连接BD,则PD=PB=1,BD= ,则PD⊥PB. 设底面中心为O,则四棱锥的高PO= ,则其体积是V= 答案:
5.如图,已知ABCD -A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.