2022届广西桂林中学四市高三下学期4月教学质量检测数学（理）试题含解析

广西四市2022届高三4月教学质量检测

数学（理）试题

一、选择题∶本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

2．设复数满足，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．

3．抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（       ）

A． B． C． D．

4．为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（       ）

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度

5．同时掷两个骰子，向上点数之差的绝对值为1的概率是（       ）

A． B． C． D．

6．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（       ）

A． B． C． D．

7．设等比数列的前项和为，且有，，则的公比为（       ）

A．或5 B．2或 C．或 D．或

8．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

9．若，是两个不同平面，，是两条不同直线，有以下4个推断：

①，，；

②，，，；

③，，；

④，，，．

其中，正确的是（       ）

A．① B．② C．③ D．④

10．已知和为非零向量，则“”的充分而不必要条件是（       ）

A． B．

C． D．

11．已知、为双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于、两点，若，其中为坐标原点，则的离心率为（       ）

A． B． C． D．

12．设函数若方程（且）有唯一实根，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．若，满足约束条件则的最大值为____________．

14．的展开式中，的系数为__________ （用数字作答）．

15．半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______．

16．正项数列的前项和为，且有，则___________．

三、解答题

17．近期新冠病毒奥密克戎毒株全球蔓延，传染性更强、潜伏期更短、防控难度更大．为落实动态清零政策下的常态化防疫，某高中学校开展了每周的核酸抽检工作：周一至周五，每天中午13：00开始，当天安排450位师生核酸检测，五天时间全员覆盖．

(1)该校教职工有410人，高二学生有620人，高三学生有610人，

①用分层抽样的方法，求高一学生每天抽检人数；

②高一年级共15个班，该年级每天抽检的学生有两种安排方案，方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理，并给出理由．

(2)学校开展核酸抽检的第一周，周一至周五核酸抽检用时记录如下：

①计算变量和的相关系数（精确到0.01），并说明两变量线性相关的强弱；

②根据①中的计算结果，判定变量和是正相关，还是负相关，并给出可能的原因．

参考数据和公式：，相关系数．

18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，为的中点，点为底边上的点，，．

(1)证明：平面平面；

(2)若二面角的大小为45°，求直线与平面所成角的正弦值．

19．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且的面积．

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围．

20．已知动点在椭圆：之外，作直线：．

(1)证明：直线与椭圆有2个不同的公共点：

(2)设（1）问中两个公共点分别为A和，若点在椭圆上，且满足，求点的轨迹方程．

21．设函数，曲线在点处的切线与直线垂直．

(1)求的值；

(2)设函数，求的值域．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)若，写出与公共点的直角坐标；

(2)若，求上的点到距离的最小值．

23．设，．

(1)用表示，，的最小值，证明：；

(2)证明：．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

解不等式求得集合，由此求得.

【详解】

，解得或，所以，

所以.

故选：C

2．B

【解析】

【分析】

利用复数的除法解出，即可判断

【详解】

所以的虚部为

故选：B

3．A

【解析】

【分析】

根据点求得，由此求得抛物线的准线.

【详解】

由于抛物线：过点，

所以，

所以抛物线方程为，

所以抛物线的直线方程为.

故选：A

4．B

【解析】

【分析】

由三角函数的图象变换判断．

【详解】

，

所以把函数的图象上所有点向右平移个单位得函数的图象．

故选：B．

5．A

【解析】

【分析】

结合古典概型的概率计算公式计算出所求答案.

【详解】

同时掷两个骰子，基本事件有种，

其中向上点数之差的绝对值为1的有：

，共种，

所以所求的概率为.

故选：A

6．D

【解析】

【分析】

初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解．

【详解】

设初始状态为，则，，

又，，即，

，，，，．

故选：D．

7．C

【解析】

【分析】

由等比数列的基本量法求解．

【详解】

设公比为，由，，得

，解得或，

故选：C．

8．A

【解析】

【分析】

运行程序，计算出输出的的值.

【详解】

，

，判断是；，判断是；；.

，判断是；，判断是；；.

，判断是；，判断是；；.

，判断是；，判断是；；.

，判断是；，判断是；；.

，判断是；，判断是；；.

，判断是；，判断否；.

，判断是；，判断否；.

……

依次类推，

，判断是；，判断否；.

，判断否，输出.

故选：A

9．B

【解析】

【分析】

根据线线、线面、面面有关知识进行分析，从而确定正确答案.

【详解】

①，，，，则可能异面，①错误.

②，，，结合，，可知，②正确.

③，，，，可能相交，③错误.

④，，，，，可能相交，④错误.

故选：B

10．C

【解析】

【分析】

先分析，然后根据向量平行、数量积、模等知识对选项进行分析，结合充分、必要条件的知识确定正确选项.

【详解】

，则，即，

A选项，，所以A选项错误.

B选项，，则，

所以“”是“”的充要条件，B选项错误.

C选项，，则，

而时，则可能，

即“” 是“”的充分而不必要条件，C选项正确.

D选项，若，则其中可能，所以D选项错误.

故选：C

11．D

【解析】

【分析】

根据双曲线的性质得到，再根据，即可得到，在中，，设双曲线的半焦距为，即可得到，，再根据双曲线的定义及离心率公式计算可得；

【详解】

解：依题意由双曲线的对称性可知，又，

所以，所以，在中，，

设双曲线的半焦距为，所以，，

则其离心率；

故选：D

12．D

【解析】

【分析】

作出函数图象，由图象结合临界情况下对应的值，数形结合即可写出满足条件的范围.

【详解】

若，即有

作出函数，的图象，如图，

由图象，可以发现当时,两者无公共点，当时，即，时，有两个公共点，故由图象可知，当时，两者有唯一公共点，当时，由与相切于点时，由可得，

结合图象可知，时，两者有唯一公共点.

综上，a的取值范围是.

故选：D

【点睛】

关键点点睛：根据所给分段函数，分析出函数在上的具体解析式，做出函数的图象，找出临界情形，由数形结合的方法是解决此问题的关键.

13．

【解析】

【分析】

画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.

【详解】

，

画出可行域如下图所示，

由图可知，当时，取得最大值为.

故答案为：

14．-70

【解析】

【详解】

的展开式的通项公式为，令得，令得，∴的展开式中，的系数为,故答案为.

15．

【解析】

【分析】

作出正方体的对角面，截半球得半个大圆，由此图形求得半球半径与正方体棱长的关系，从而可得表面积之比．

【详解】

如图，是半球的截面，截正方体的对角面，矩形是半圆的内接矩形，

设半球半径为，正方体棱长为，则，，

半球表面积为，

正方体的表面积为，

所以．

故答案为：．

16．##

【解析】

【分析】

结合来求得.

【详解】

依题意，，

当时，，

当时，，

，所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以.

故答案为：

17．(1)①人，②方案二，理由见解析

(2)①，线性相关性很强；②负相关，理由见解析；

【解析】

【分析】

（1）①首先求出高一年级的总人数，即可求出高一学生每天抽检人数；②显然分散抽检更合理；

（2）根据相关系数公式求出，即可判断线性相关关系，根据相关系数的正负判断即可，再给出合理解析即可；

(1)

解：①高一学生每天抽检人数为（人）；

②方案二更合理，因为新冠病毒奥密克戎毒株传染性更强、潜伏期更短，分散抽检可以全面检测年级中每班学生的状况，更有利于防控筛查工作；

(2)

解：①，，

所以，

，

变量和的相关系数为，

因为，可知两变量线性相关性很强；

②由可知变量和是负相关，可能的原因：随着抽检工作的开展，学校相关管理协调工作效率提高，因此用时缩短；

18．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）通过证明平面来证得平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，结合向量法来求得直线与平面所成角的正弦值.

(1)

连接和交于，连接，

，，，

则，，

所以，

又因为，

所以平面，

由于平面，所以，

又因为，

所以，

又因为，

所以平面，

由于平面，所以平面平面.

(2)

由（1）得，

由于，

所以平面，所以，

所以是二面角的平面角，则，

所以，

以为原点，为轴的正方形，建立空间直角坐标系，

，

，

设平面的法向量为，

则，故可设.

，

设直线与平面所成角为，

则.

19．(1)2

(2)

【解析】

【分析】

（1）先由余弦定理得到，结合三角形面积公式，正弦定理得到，化简后得到答案；

（2）在第一问的基础上化简得到，分与两种情况下进行求解.

(1)

由余弦定理得：①，

②，两式相减得：

，

因为，

所以，

即，

由正弦定理得：

因为，所以，且，

故，即.

(2)

由（1）知：，

因为，当时，；

当时，，

又因为，

所以，

所以，

综上：

20．(1)证明见解析；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后由判别式可证，注意有；

（2）设，由（1）得，由直线方程计算出，设，由向量运算的坐标表示可把用表示，用表示，代入椭圆方程化简后可得点轨迹方程．

(1)

由消去得，，（*）

，

因为在椭圆外部，所以，即，

所以，方程（*）有两个不等的实根，即直线与椭圆有两个不同的公共点；

(2)

设，由（1），，

又，，相加得，

，

设，

，

，，即，

在椭圆上，即，，

所以．

化简得，

，

因为，所以，

所以点轨迹方程为，即．

21．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由求得的值.

（2）利用，结合对进行分类讨论来求得的值域.

(1)

，

由于曲线在点处的切线与直线垂直，

所以.

由于在区间上恒成立，

所以在区间上递增，

所以.

(2)

，

，

令，

，

所以在上递减，

当时，在上递减；

当时，在上递增.

当且或时，，且，

所以当时，.

当时，在上递减；

当时，在上递增.

当且或时，，且，

所以当时，.

综上所述，的值域为.

【点睛】

利用导数求函数的最值或值域，当一次求导无法求解函数的单调区间时，可以通过构造函数法，再一次求导来求解，求解过程中要注意导函数与原函数的关系.

22．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）消去参数求出曲线的普通方程，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立后求出公共点的直角坐标；（2）设上的点坐标为，利用点到直线距离公式，基本不等式进行求解最小值.

(1)

曲线：，两式平方相减，化为普通方程为：，

当时，化简为：，即，所以，联立，解得：，公共点的坐标为；

(2)

当时，直线的直角坐标方程为：，

设上的点坐标为，则上的点到距离，

令，定义域为，

定义域关于原点对称，且，

故为奇函数，

当时，，当且仅当时，等号成立；

当时，，当且仅当时，等号成立；

由于，

则在处取得最小值，此时

23．(1)证明见解析；

(2)证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）用反证法结合基本不等式证明；

（2）由不等式的性质证明．

(1)

因为，

假设，则，，，所以，即，

，所以与矛盾，

所以假设错误，所以成立；

(2)

，不妨设，则，

，，

，

，所以，

又，即，

所以．