2022年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷(含解析 )

2022年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算一定正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，是的直径，点在上，过点的切线交的延长线于点，连接，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 方程的解为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，将等边沿着折叠，点落到点处，连接，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球、个黑球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，，则的长为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知、两地相距，甲从地出发到地，一段时间后，乙从地出发到地，甲、乙两人离地的距离与甲所用的时间之间的关系如图所示，则他们相遇时距离地

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 中国第一个空间站“天宫一号”距离地球约米，用科学记数法表示为______米．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______．
13. 若反比例函数的图象经过点则实数的值是______ ．
14. 化简：的结果是______．
15. 因式分解：______．
16. 抛物线的顶点坐标是______ ．
17. 不等式组的解集是______．
18. 在正方形中，点在边上，：：，点是正方形边上一点，，则的值为______．
19. 一个扇形的弧长是，圆心角是，则此扇形的半径是______．
20. 如图，在平行四边形中，于点，平分交于点，若，，，则的长为______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

21. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点、点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
    在方格纸中画出关于点成中心对称的点的对称点是点，点的对称点是点，点的对称点是点，点、、在小正方形的顶点上；
    在方格纸中画出以为斜边的，且，点在小正方形的顶点上．连接，请直接写出线段的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 中国在年北京冬奥会冰上项目获得六枚奖牌，掀起校园冰上运动热潮．云溪中学开展“我最喜欢的冰上运动项目”为主题的调查活动，围绕“在短道速滑、花样滑冰、速度滑冰、冰壶、冰球五种冰上运动项目中，你最喜欢的是哪一种？必选且只选一种”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢花样滑冰的学生人数占所调查人数的请你根据图中提供的信息解答下列问题：
    
    在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
    请通过计算补全条形统计图；
    若云溪中学共有名学生，请你估计该中学最喜欢短道速滑的学生共有多少名．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知：在矩形中，点在边上，连接，交于点，且．
    
    如图，求证：；
    如图，当为中点时，过点作，交的延长线于点，延长、交于点，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个三角形，使写出的三角形的面积都是面积的倍．
    
    
    
    
    
    
     
25. 海华中学为了养成学生良好的卫生习惯，决定采购一批某品牌、两种型号洗手液共瓶，经市场调查发现，若购买个型号的洗手液和个型号的洗手液共需元，若购买个型号的洗手液和个型号的洗手液共需元．
    求、两种型号的洗手液的单价各是多少元；
    由于购买数量较多，商家决定，型号的洗手液保持原价不变，型号的洗手液打八折出售，若购买洗手液的总费用不超过元，那么至少需要购买型号的洗手液多少瓶？
    
    
    
    
    
    
     
26. 已知：是的外接圆，直径交于点．
    
    如图，求证：；
    如图，过点作于点，交于点，连接，若平分，求证：；
    如图，在的条件下，过点作交于点，在上取一点，连接、，使，若，，求线段的长．
    
    
    
    
    
    
     

在平面直角坐标系中，点为坐标系的原点．抛物线分别交轴于点、点，交轴于点．

如图，求抛物线的解析式；
如图，点为抛物线第二象限上的点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，点、分别在、上，连接，且，点在上，连接、，，点在上，且当，时，求点坐标．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”．
根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，据此解答即可．
【解答】
解：根据相反数的含义，可得
的相反数是：．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项、同底数的幂相乘、幂的乘方法则及完全平方公式逐项判断．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项、同底数的幂相乘、幂的乘方法则及完全平方公式．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】
 

【解析】解：从正面看底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】
 

【解析】解：连接，
切于，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据切线的性质求出，由三角形内角和定理求出，求出，根据三角形的外角性质即可求出的度数．
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，正确作出辅助线，根据切线的性质求得是解决问题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

7.【答案】
 

【解析】解：是等边三角形，
，，
由翻折可知：，，
，，
．
故选：．
根据等边三角形的性质和翻折的性质可得，，然后根据等腰三角形内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换，等边三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：袋子里装有个小球，其中个红球、个黑球，
从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是，
故选C．
用红球的个数除以球的总数即可求得答案．
本题考查概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
∽，
，即，
．
故选：．
由，可得出∽，利用相似三角形的性质即可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：设，将代入得：
，
解得，
，
设，将，代入得：
，
解得，
，
由得：，
他们相遇时距离地．
故选：．
用待定系数法分别求出甲、乙的函数关系式，再联立函数关系式求出其图象交点坐标，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确识图，熟练应用待定系数法求函数关系式．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

13.【答案】
 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
．
故答案为．
直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．
 

15.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：为抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
抛物线的顶点坐标为，
故答案为．
已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】或
 

【解析】解：当点在线段上时，如图：

，，，
≌，
，
；
当段在线段上时，如图：

，，，
≌，
，
；
故答案为：或．
根据题意画出图形，分点在上或在上两种情况进行讨论即可．
本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质及三角函数的定义是解题关键．
 

19.【答案】
 

【解析】解：弧长，
解得．
故答案为：．
利用弧长公式计算．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．
 

20.【答案】
 

【解析】解：证明：延长到，使得，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
于点，
，
，
，
在和中
，
≌，
，，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
延长到，使得，连接，根据四边形是平行四边形，推出，，，求出，根据证≌，推出，，求出，推出即可．
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的运用，本题综合性比较强，有一定的难度．
 

21.【答案】解：



，
当时，原式．
 

【解析】先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

22.【答案】解：如图所示，即为所求；

设，则由勾股定理得，解得，
，，
如上图所示，即为所求，
．
 

【解析】根据中心对称的性质，即可画出；
根据斜边长为，由可知，设，则由勾股定理得，解得，则，，即可画出以为斜边的．
本题主要考查了作图旋转变换，勾股定理等知识，利用勾股定理得出和的长是解题的关键．
 

23.【答案】解：本次调查共抽取的学生数有：名；

最喜欢速度滑冰的人数有：名，
补全统计图如下：


根据题意得：名，
答：估计该校最喜欢短道速滑的学生约有名．
 

【解析】用最喜欢花样滑冰的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数；
用总人数减去其它项目的人数，求出最喜欢速度滑冰的人数，从而补全统计图；
用总人数乘以最喜欢短道速滑的学生所占的百分比，即可得出答案．
本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
为的中点，
，
由可知，，，，，
在中，，
四个三角形为：成立；
成立；
成立；
成立；
综上，四个三角形，，，的面积都是面积的倍．
 

【解析】根据矩形的性质和余角的性质可得，利用全等三角形的判定与性质可得答案；
根据全等三角形的判定与性质可得，设，由可知，，，，，利用三角形面积公式可得答案．
此题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

25.【答案】解：设型号洗手液的单价是元，型号洗手液的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：型号洗手液的单价是元，型号洗手液的单价是元．
设购买型号的洗手液瓶，则购买型号的洗手液瓶，
依题意得：，
解得：．
答：至少需要购买型号的洗手液瓶．
 

【解析】设型号洗手液的单价是元，型号洗手液的单价是元，根据“若购买个型号的洗手液和个型号的洗手液共需元，若购买个型号的洗手液和个型号的洗手液共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买型号的洗手液瓶，则购买型号的洗手液瓶，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：连接，如图所示：

，
，
为的直径，
，
，
；
证明：连接、，如图所示：
 
的直径，
，
，
，
，
同角的余角相等，
为的直径，，
，
，，
，，
，
，
是的一个外角，
，
平分，
，
，，
，
即，
，
，
；
解：连接、，过点作于点，

由得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
设的半径为，则
，，
，为的直径，
，，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
整理得，
，
解得，或，
经检验，是增根，是原方程的根，
，
，，，
，
，，
，
∽，
，
即，
，，
，
．
 

【解析】连接，理由圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质即可得出结论；
连接、，根据圆周角定理、垂径定理、三角形外角性质即可证明结论；
连接，过点作于点，根据已知条件计算得出圆的半径，然后得出、、的长度，利用三角形相出、的长，从而得出的长，根据勾股定理得出的长即可．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：抛物线分别交轴于点、点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
过点作轴于点，如图，

点，
．
令，则，
．
．
轴，
，
，
∽，
，
设，则，，则，
，
，
，
与的函数关系式为；
如图，在上取点，使，则，设与交于点，

设，
．
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
．
，
四边形是菱形．
如图，延长到，使，连接，，

，
，，
，
．
，，
．
在和中，
，
≌，
，
．
在和中，
，
≌，
，，
是的中点．
．
点，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上．
，
，
．
，
．
．
．
．
．
设以点为圆心，为半径的圆的半径为，，
则，，．
，

是直径，
，
．
∽．
．
．

将联立组成方程组，解得：
，．
．
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为．
．
解得：，．
点
 

【解析】利用待定系数法即可解决问题；
过点作轴于点，根据相似三角形的性质即可解答；
在上取点，使，则，设与交于点，通过证明得到四边形是菱形；延长到，使，连接，，通过证明得到点，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上，设以点为圆心，为半径的圆的半径为，，则，，，利用勾股定理和相似三角形的性质列出关于，的方程，将方程组成方程组，解方程组即可求得，的值，则点坐标可得；利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点坐标．
本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．