2022年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷（含解析）

2022年山东省济南市章丘区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 的值为

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示正三棱柱的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 银河系中大约有恒星   颗，数据   用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列选项中的垃圾分类图标，属于中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，，，垂足为，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

6. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，、为的两条弦，连接、，点为的延长线上一点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为

A. ， B. ， C. ， D. ，

9. 正比例函数的图象经过一、三象限，则一次函数的图象大致是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是

A.  B.  C.  D.

11. 在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径约为，某同学站在处，先仰望篮球筐直径的一端处，测得仰角为，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端处的仰角为若该同学的目高为，则篮球筐距地面的高度大约是结果精确到参考数据：，，，

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数在上的最大值是，最小值是，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 分解因式：______．
14. 在一个不透明的袋中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球和个白球．从袋中随机摸出一个球，是黄球的概率为______．
15. 若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为______．
16. 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一圆心角为的扇形，则此扇形的面积为______．
    
    
     

17. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽厘米，长厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．

18. 如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，点，分别在菱形的边，上，且求证：．

22. 历下区某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为、、、四个等级，绘制了两种不完整统计图．
    
    根据图中提供的信息，解答下列问题：
    参加演讲比赛的学生共有______人，扇形统计图中______，______，并把条形统计图补充完整．
    学校欲从等级名男生名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求等级中一男一女参加比赛的概率．男生分别用代码、表示，女生分别用代码、表示
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，为的外接圆，为直径，的角平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求的半径．
    
     

24. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进两种树苗共棵，已知种树苗每棵元，种树苗每棵元．

若购进两种树苗刚好用去元，问购进两种树苗各多少棵

若购买种树苗的数量少于种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．






 

25. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
    求点的坐标和反比例函数的关系式；
    如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求值．
    在的条件下，坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

26. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图，在中，，，分别为、边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转．
    观察猜想
    绕点旋转到如图所示的位置，若，则的值为______．
    类比探究
    若，将绕点旋转到如图所示的位置，求的值．
    拓展应用
    若，为的中点，，当时，请直接写出的值．

27. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点．
    求抛物线的解析式；
    如图，在抛物线的对称轴直线上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
    如图，点为直线上方抛物线上一点，若，请求出点坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的值为．
故选：．
根据算术平方根的定义进行解答．
本题主要考查算术平方根的定义，关键在于熟练掌握算术平方根的定义．
 

2.【答案】
 

【解析】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选C．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【解答】
解：   ，
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是求出．
 

6.【答案】
 

【解析】解：与不是同类项，不能合并，故错误，故本选项不合题意；
B.，故错误，故本选项不合题意；
C.，故错误，故本选项不合题意；
D.，故正确，本选项符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方运算，同底数幂的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，在优弧上取点，连接，，

，
，
，
故选：．
根据的度数可先求出弧所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
所调查学生睡眠时间的众数是；
共有名学生，中位数是第、个数的平均数，
所调查学生睡眠时间的中位数是．
故选：．
直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．
此题主要考查了众数、中位数的概念，正确把握中位数的概念是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：正比例函数的图象经过一、三象限，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：．
根据正比例函数的图象经过一、三象限可判断出的符号，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出的符号是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：点为线段上的一个动点，最短，
，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，
，
，，
，
，，
≌，
，
，
的面积，
故选：．
根据“垂线段最短”可得，根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：如图：由题意可得四边形是矩形，四边形是矩形，
，，
设，，
在中，，
，
在中，，
，
联立方程组，可得，
解得：，
，
故选：．
设，，然后结合角的正切值列方程组求解，从而求得的高度．
本题考查解直角三角形的实际应用，理解锐角三角函数的定义，利用角的正切值列方程组是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：函数的对称轴为直线，
当时，有最小值，此时，
函数在上的最小值是，
；
当时，，对称轴为直线，
当时，，
函数在上的最大值是，且；
．
故选：．
先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出；再求得当时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得的下限．
本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：袋子中共有个小球，其中黄球有个，
摸出一个球是黄球的概率是，
故答案为：．
用黄球的数量除以所有球的数量即可求得黄球的概率．
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，
，，，
．
关于的一元二次方程的一个根为，
另一个根为．
故答案为：．
利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为，结合方程的一个根为，可求出方程的另一个根，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接，则，
所以是圆的直径，即，

由勾股定理得：，
即，
解得：，
阴影部分的面积是
故答案为：．
连接，解直角三角形求出，再根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形和扇形的面积计算，能求出是圆的直径是解此题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
直接利用勾股定理得出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．
【解答】
解：如图所示：作于点，
由题意可得，，，
故BF，
可得：，，
故∽，
，
，
解得：．
故答案为：．  

18.【答案】
 

【解析】解：连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图：

四边形是矩形，
，
，点是的中点，
，
在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时，最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，
，，
，，
，
，
，
，即四边形面积的最小值是．
故答案为：．
连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点是的中点，即得，故G在以为圆心，为半径的弧上，当运动到时，最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是．
本题考查矩形中的动点问题，解题的关键是求出的运动轨迹．
 

19.【答案】解：


．
 

【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

20.【答案】解：去分母，得：，
解这个方程，得：，
检验：当时，，
原方程的解是．
 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】根据菱形的性质可得，，再证明≌，可得结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
 

22.【答案】；；；
如图：

画树状图得：
，
共有种等可能的结果，等级中一男一女参加比赛的有种情况，
等级中一男一女参加比赛的概率为：．
 

【解析】解：根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：人，
，
，
，
；
如图：

故答案为：，，；

画树状图得：
，
共有种等可能的结果，等级中一男一女参加比赛的有种情况，
等级中一男一女参加比赛的概率为：．
根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：人，然后由扇形统计图的知识，可求得，的值，继而补全统计图；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】证明：如图，连接，
与相切于点，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
解：如图，是的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
设的半径为，则，
，且，
，
解得，
的半径为．
 

【解析】连接，因为与相切于点，所以，由得，由平分得，则，可证明，则，所以；
由为的直径得，即可根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形是矩形，则，，由垂径定理得，设的半径为，根据勾股定理列方程求出的值即可．
此题重点考查圆的切线的性质定理、垂径定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据题意得：
 ，
解得：，
，
答：购进种树苗棵，种树苗棵；

设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，
根据题意得：
，
解得：，
购进、两种树苗所需费用为，
因为种树苗贵，则费用最省需取最小整数，
此时，
这时所需费用为元．
答：费用最省方案为：购进种树苗棵，种树苗棵．这时所需费用为元．
 

【解析】假设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，利用购进、两种树苗刚好用去元，结合单价，得出等式方程求出即可；
结合的解和购买种树苗的数量少于种树苗的数量，可找出方案．
此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：如图，过点作轴于点，
则，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为．
将点的坐标为代入，得，
反比例函数的关系式为；
，
点纵坐标为，
点横坐标为，
，；
如图，当四边形为平行四边形时，点的坐标为，
当四边形为平行四边形时，点的坐标为，
当四边形为平行四边形时，点的坐标为，
综上所述：以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点坐标为或或．
 

【解析】过点作轴于点，证明≌，根据全等三角形的性质分别求出、，求出点的坐标，进而求出反比例函数解析式；
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点横坐标，根据平移的性质解答；
根据题意画出图形，根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查的是反比例函数综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】
 

【解析】解：如图，，
，，
，
，，
，
，
，
绕点旋转到如图所示的位置，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
，，，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
∽，
；
是的中点，
，
分两种情况：
如图，当旋转到直线的下方时，

，
，
在中，，
，
由知，，
；
图，当旋转到直线的上方时，

，
由知，，
；
综上所述，的值为或．
如图，根据平行线的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论；
根据已知条件得到和均为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到结论；
分两种情况：
如图，当旋转到直线的下方时，如图，当旋转到直线的上方时，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得的值于是得到结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

27.【答案】解：点，
则抛物线的表达式为：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；

点关于函数对称轴的对称点为点，则交函数对称轴于点，则点为所求，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，故点；

如图，设直线交轴于点，作于点，

，，
则设：，则，
则，
，则点，
由点、的坐标可得，直线的表达式为：，
联立并解得：舍去或，
故点
 

【解析】抛物线的表达式为：，即，解得：，即可求解；
点关于函数对称轴的对称点为点，则交函数对称轴于点，则点为所求，即可求解；
设：，则，则，，则点，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．