2021届四川省宜宾市高考三诊数学文科卷及答案（文字版）

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，则A∩（∁UB）＝（　　）

A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{0，3} D．{﹣2，﹣1，3}

A．

2．已知i为虚数单位，且（1﹣i）z＝i3，则复数z的虚部为（　　）

A． B． C． D．

B．

3．命题P：“∃x0＞0，sinx0＜x0”，则￢P为（　　）

A．∃x0≤0，sinx0＞x0 B．∀x≤0，sinx≥x 

C．∃x0＞0，sinx0≥x0 D．∀x＞0，sinx≥x

D．

4．某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（　　）

A．y＝a+bx B．y＝a+blnx C．y＝a+bex D．y＝a+bx2

B．

5．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（t为时间，单位分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一杯开水温度θ1＝100°C，环境温度θ0＝20°C，常数k＝0.2，大约经过多少分钟水温降为40°C？（结果保留整数，参考数据：ln2≈0.7）（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6

故选：C．

6．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中不含宫和羽的概率为（　　）

A． B． C． D．

A．

7．函数的图象如图，下列说法正确的是（　　）

A．f（x）的周期为2π 

B．f（x）的图象关于对称 

C．f（x）的图象关于对称 

D．将f（x）图象上所有点向左平移个单位长度得到y＝2sin2x的图象

C．

8．函数f（x）＝的部分图象大致为（　　）

A． B． C． D．

B．

9．相传黄帝在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度上减去三分之一，即变为原来的三分之二；“三分益一”是在原来的长度上增加三分之一，即变为原来的三分之四．右图的程序框图算法思路源于“三分损益”，执行该程序框图，若输入x＝2，则输出x的值为（　　）

A． B． C． D．

C．

10．已知三棱锥A﹣BCD的各个顶点都在球O的表面上，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝3，，AD＝2，则球O的表面积为（　　）

A．160π B．40π C．10π D．

B．

11．如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于A，B两点，若|AB|＝2|F1B|，且|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（　　）

A． B．4 C． D．

A．

12．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝f（x﹣2），下列说法：

①y＝f（x）的图象关于对称；

②y＝f（x）的图象关于对称；

③y＝f（x）在[0，6]内至少有5个零点；

④若y＝f（x）在[0，1]上单调递增，则它在[2021，2022]上也是单调递增．

其中正确的是（　　）

A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④

D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13．函数y＝sinx+x在x＝0处的切线方程为　y＝2x　．

14．已知向量＝（1，x），＝（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||的值为　2　．

15．平面直角坐标系xOy中，点P（4，﹣3）是α终边上的一点，则＝　　．

16．若点M是直线l：y＝﹣2上的动点，过点M作抛物线C：y＝的两条切线，切点分别为A，B，则＝　﹣4　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17．设{an}是等比数列，且a1＝e，lna2+lna3＝8．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn是数列{lnan}的前n项和，若Sm+Sm+2＝Sm+4，求m．

解：（1）设{an}的公比为q，∵{an}是等比数列，且a1＝e，lna2+lna3＝8．

∴lna2+lna3＝ln（a2a3）＝8，∴a2a3＝e2q3＝e8，

解得q＝e2，

∴{an}的通项公式为an＝e×（e2）n﹣1＝e2n﹣1．

（2）∵an＝e2n﹣1，∴lnan＝2n﹣1，又∵Sn是数列{lnan}的前n项和，

∴Sn＝＝n2．

∵Sm+Sm+2＝Sm+4，∴m2+（m+2）2＝（m+4）2（m∈N*），解得：m＝6．

故m的值为6．

18．某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展茶叶种植．该县农科所为了对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）都在[40，64]内，根据亩产数据得到频率分布直方图如图：

（1）从B种茶叶亩产量数据在[44，52）内任意抽取2个数据，求抽取的2个数据都在[48，52）内的概率；

（2）根据频率分布直方图，用平均亩产来判断应选择种植A种还是B种茶叶，并说明理由．

解：（1）B种茶叶亩产量数据在[44，52）内的有：

（0.025+0.0375）×4×20＝5，

其中数据在[44，48）的有：0.025×4×20＝2个，

数据在[48，52）的有：0.0375×4×20＝3个，

从B种茶叶亩产量数据在[44，52）内任意抽取2个数据，

基本事件总数n＝＝10，

抽取的2个数据都在[48，52）内包含的基本事件个数m＝＝3，

∴抽取的2个数据都在[48，52）内的概率为P＝＝．

（2）根据频率分布直方图，

A品种茶叶的平均亩产为：

＝42×0.0375×4+46×0.05×4+50×0.075×4+54×0.05×4+58×0.025×4+62×0.0125×4＝50.2，

B品种茶叶的平均亩产为：

＝42×0.0125×4+46×0.025×4+50×0.0375×4+54×0.0875×4+58×0.05×4+62×0.0375×4＝54，

∵A品种茶叶的平均亩产小于B品种茶叶的平均亩产，

∴用平均亩产来判断应选择种植B种茶叶．

19．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，平面PBC⊥平面ABCD，点E在AD上，AD⊥平面PEC．

（1）求证：PC⊥平面ABCD；

（2）若AE＝2ED，在线段PB上是否存在一点F，使得AF∥平面PEC，请说明理由．

【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PEC，PC⊂平面PCE，

∴AD⊥PC，

∵四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴PC⊥BC，

∵平面PBC⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD＝BC，PC⊂平面PBC，

∴PC⊥平面ABCD．

（2）解：存在，F为PB上靠近B的三等分点，

取PB上靠近B的三等分点为F，取PC上靠近C的三等分点为G，连接EG、FG、AF；

∵F、G分别为PB、PC上的三等分点，

∴FG∥BC且FG＝BC，

∵AE＝2ED，且四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，

∴AE∥FG且AE＝FG，

∴四边形AEGF为平行四边形，

∴AF∥EG，

∵EG⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，

∴AF∥平面PEC．

20．已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，焦距为2，过F2作斜率存在且不为零的直线l交C于A，B两点，且△F1AB的周长为8．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知弦AB的垂直平分线m交x轴于点P，求证：|AB|＝4|PF2|．

解：（1）因为焦距为2，

所以2c＝2，解得c＝1，

由椭圆的定义可知△F1AB的周长为8，

所以4a＝8，解得a＝2，

所以b2＝a2﹣c2＝3，

所以椭圆C的方程为+＝1．

（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，

所以y1+y2＝，y1y2＝，

所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，

所以AB的中点为（，），即（，），

所以线段BA的垂直平分线的方程为y＝﹣m（x﹣）＝﹣mx+，

令y＝0，得x＝，

所以xP＝，

所以|PF2|＝|1﹣xP|＝＝，

所以|AB|＝|y1﹣y2|＝

＝＝，

所以＝＝＝4，

所以|AB|＝4|PF2|．

21．已知函数f（x）＝x3﹣（a+1）x2+1（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若﹣1＜a＜2，当x1，x2∈[0，1]时，设h（a）＝|f（x1）﹣f（x2）|max，求h（a）的取值范围．

解：（1）f′（x）＝3x2﹣3（a+1）x＝3x[x﹣（a+1）]，

①当a+1＜0，即a＜﹣1时，若x＜a+1或x＞0，f′（x）＞0，若a+1＜x＜0，f′（x）＜0，

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a+1），（0，+∞），单调递减区间为（a+1，0）；

②当a+1＝0，即a＝﹣1时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

③当a+1＞0，即a＞﹣1时，若0＜x＜a+1，f′（x）＜0，若x＜0或x＞a+1，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（a+1，+∞），单调递减区间为（0，a+1）；

（2）由（1）知，当﹣1＜a＜2时，f（x）在（0，a+1）上递减，在（a+1，+∞）上递增，

由f（x）＝f（0），解得x＝0或，

①若a+1≥1，即0≤a＜2时，f（x）在[0，1]上递减，；

②若，即时，f（x）在[0，a+1]上递减，在（a+1，1]上递增，且f（0）≥f（1），则；

③若，即时，f（x）在[0，a+1]上递减，在（a+1，1]上递增，且f（0）＜f（1），则，

∴，

∴h（a）在上递减，

∴，

综上所述，．

（二）选考题：作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．如图，在极坐标系Ox中，，，弧和所在圆的圆心分别是，，曲线C1是弧，曲线C1是弧．

（1）分别求出曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）已知点P是曲线C1，C2上的动点，直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝2，C，D是直线l上的两点，且|CD|＝2，求△PCD面积的最大值．

解：（1）点，转换为直角坐标为A（），点转换为直角坐标为B（﹣）．

弧和所在圆的圆心分别是转换为直角坐标为（0，2），转换为直角坐标为（0，4），

故圆C1的半径为，圆C2的半径为，

所以曲线圆C1的方程为x2+（y﹣2）2＝4，根据转换为极坐标方程为．

曲线圆C2的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝4，根据，转换为极坐标方程为．

（2）由（1）知曲线C1的参数方程（α为参数，），

直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）＝2，转换为直角坐标方程为x﹣2y﹣2＝0，

所以点P到直线l的距离d＝，（当cos时，等号成立），

由于|CD|＝2，

所以，

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣2|．

（1）解不等式f（x）≥3；

（2）记函数f（x）的最小值为m．若a，b，c均为正实数，且a+b+2c＝2m，若（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣t）2≥成立，证明：t≥或t≤．

解：（1），

故f（x）≥3等价于或或，

解得或0≤x＜2或x≥2，即或x≥0，

∴所求不等式的解集为．

（2）证明：由（1）值，，

∴a+b+2c＝5，则a﹣1+b﹣1+2（c﹣t）＝3﹣2t，

∴[（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣t）2]（12+12+22）≥[（a﹣1）+（b﹣1）+2（c﹣t）]2＝（3﹣2t）2，

∴，

∴，解得或，即得证．