人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第二课时导学案及答案

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第二课时　补集及综合应用某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}．[问题]　没有获得金奖的学生有哪些？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　全集1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．2．记法：通常记作．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异，所以全集不一定是实数集．知识点二　补集1．补集的概念2．补集的性质(1)A∪(∁UA)＝；(2)A∩(∁UA)＝；(3)∁UU＝，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝；(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．1．对补集的理解补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．2．对符号∁UA的理解(1)A是U的子集，即A⊆U；(2)∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．　　　　 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数集问题的全集一定是R.(　　)(2)集合∁BC与∁AC相等．(　　)(3)A∩(∁UA)＝∅.(　　)(4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝________．解析：∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}．答案：{0，1}3．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA＝________．解析：借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}．答案：{x|0<x≤2}补集的简单运算[例1]　(链接教科书第13页例5)(1)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝(　　)A．U　　　　　　　　　 B．{1，3，5}C．{3，5，6}  D．{2，4，6}(2)若全集U＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，A＝{x|－3≤x≤0或1＜x≤2}，则∁UA＝________．[解析]　(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3，5，6}．(2)如图，由补集定义可知∁UA表示图中阴影部分，故∁UA＝{x|0＜x≤1或2＜x≤3}．[答案]　(1)C　(2){x|0＜x≤1或2＜x≤3}求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．　　　　 [跟踪训练]1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－1≤x≤3}，则∁UM＝(　　)A．{x|－1＜x＜3}  B．{x|－1≤x≤3}C．{x|x＜－1或x＞3}  D．{x|x≤－1或x≥3}解析：选C　∵集合M＝{x|－1≤x≤3}，∴∁UM＝{x|x＜－1或x＞3}，故选C.2．已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________．解析：法一：∵A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}．又∁UB＝{1，4，6}，∴B＝{2，3，5，7}．法二：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2，3，5，7}．答案：{2，3，5，7} 交集、并集、补集的综合运算[例2]　(1)设集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)A．{0，4}  B．{4}C．{1，2，3}  D．∅(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)A．{x|x≤0或x≥1}  B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|0＜x＜1}  D．{x|－1＜x＜2}[解析]　(1)因为U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以∁UA＝{0，3，4}，∁UB＝{0，1，4}，所以(∁UA)∩(∁UB)＝{0，4}．(2)题图中阴影部分对应的集合为∁U(M∪N)，因为M＝{x|－1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，所以M∪N＝{x|－1＜x＜2}，所以∁U(M∪N)＝{x|x≤－1或x≥2}，故选B.[答案]　(1)A　(2)B解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　　　　 [跟踪训练]1．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)等于(　　)A．{3}  B．{4}C．{3，4}  D．∅解析：选A　∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．又∁UB＝{3，4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．2．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　)A．{x|－2<x≤1}  B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}  D．{x|x≥1}解析：选C　因为S＝{x|x>－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．与补集相关的参数值的求解[例3]　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上画出∁UA与B，如图，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．[母题探究]1．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.故m的取值范围为{m|m<2}．2．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.故m的取值范围为{m|m≥2}．由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解；(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解．　　　　 [跟踪训练]设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是(　　)A．2  B．8C．－2或8  D．2或8解析：选D　∵A∪(∁UA)＝U，∴|a－5|＝3，解得a＝2或8.集合运算中的元素个数问题在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补集．如果用card表示有限集中元素的个数，如何确定集合A∩B，A∪B元素的个数？[典例]　某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？提示：两次一共进了6＋4－2＝8种．[问题探究]1．本例中，用集合A表示第一次进货的种数，用集合B表示第二次进货的种数，问card(A)，card(B)是多少？提示：card(A)＝6，card(B)＝4.2．由本例中数据，探究card(A)，card(B)，card(A∪B)，card(A∩B)之间有什么关系呢？试借助Venn图说明此关系？提示：对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数；③表示A∩B区域里的元素个数．则card(A∪B)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(A∪B)＝①＋②＋③；card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③.注意到card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝(①＋③)＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card(A∪B)，则结论得证．[迁移应用]1．若card(M)＝12，card(P)＝8，则card(M∪P)的最大、最小值分别是(　　)A．12，8　　　　　　　　　 B．20，8C．20，12  D．20，4解析：选C　0≤card(M∩P)≤8，所以card(M∪P)＝card(M)＋card(P)－card(M∩P)＝20－card(M∩P)，故其最大值为20，最小值为12.故选C.2．一个有54人的班级，在一次语文、数学的两项测试中，每人至少有一科成绩及格，其中语、数两科都及格的有46人，语文及格的有51人，则数学及格的人数是(　　)A．49  B．50C．51  D．52解析：选A　设语文及格的同学为集合A、数学及格的同学为集合B，全班同学为集合U，则U＝A∪B.由已知，card(A)＝51，card(A∩B)＝46，card(A∪B)＝54，代入card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，得54＝51＋card(B)－46，解得card(B)＝49.1．若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U(M∪N)＝(　　)A．{1，2，3}  B．{2}C．{1，3，4}  D．{4}解析：选D　∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U(M∪N)＝{4}．故选D.2．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________．解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}3．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解：把集合A，B在数轴上表示如图，由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．