人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示一课一练

分段函数

[A级　基础巩固]

1．设f(x)＝则f(1)＝(　　)

A．3　　　　　　　　 B．4

C．5  D．6

解析：选D　由题意知，f(1)＝f(f(2))＋1＝f(2×2－1)＋1＝f(3)＋1＝(2×3－1)＋1＝6.

2．函数f(x)＝x＋的图象是(　　)

解析：选C　依题意，知f(x)＝x＋＝所以函数f(x)的图象为选项C中的图象．故选C.

3．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：选A　∵a≠0，f(1－a)＝f(1＋a)．

当a>0时，1－a<1<1＋a，则f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，

f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.

∴2－a＝－1－3a，即a＝－(舍)．

当a<0时，1＋a<1<1－a，则f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，

∴－1－a＝2＋3a，即a＝－.

综上可得a＝－.故选A.

4．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D[D(x)]＝(　　)

A．0  B．1

C.  D.

解析：选B　∵D(x)∈{0，1}，∴D(x)为有理数，

∴D[D(x)]＝1.

5．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合f(m)＝其中[m]表示不超过m的最大整数，则从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是(　　)

A．3.71元  B．4.24元

C．4.77元  D．7.95元

解析：选C　f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77(元)．故选C.

6．已知f(x)＝则f＋f＝________．

解析：∵f(x)＝

∴f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝×2＝，f ＝2×＝，

∴f ＋f ＝＋＝4.

答案：4

7．若函数f(x)＝则f(5)＝________．

解析：因为函数f(x)＝

所以f(5)＝f(3)＝f(1)＝12＝1.

答案：1

8．设函数f(x)＝则不等式f(3－x)≥3f的解集为________．

解析：由函数f(x)＝可得，当即0≤x≤3时，原不等式可化为2(3－x)2≥3×2，即6x≤9，解得x≤，所以此时不等式的解集为；

当即x<0时，f(3－x)>0，3f<0，原不等式恒成立，所以此时不等式的解集为(－∞，0)；

当即x>3时，f(3－x)<0，3f>0，此时原不等式无解；

当时，此种情况不成立．

综上可得，原不等式的解集为.

答案：

9．已知f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)求f(x)的值域．

解：(1)作出f(x)的图象，如图所示．

(2)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]，

当x>1或x<－1时，f(x)＝1.

所以f(x)的值域为[0，1]．

10．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)．

(1)求f(f(0))的值；

(2)求函数f(x)的解析式．

解：(1)直接由图中观察，可得f(f(0))＝f(4)＝2.

(2)设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

将与代入，得解得

∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．

同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2(2<x≤6)．

∴f(x)＝

[B级　综合运用]

11．定义运算x⊗y＝若|m－1|⊗m＝|m－1|，则m的取值范围是(　　)

A.　　　　 B．[1，＋∞)

C.  D．(0，＋∞)

解析：选A　由|m－1|⊗m＝|m－1|，

可得：|m－1|≤m，所以m≥0，

两边平方得：m2－2m＋1≤m2，即m≥.

12．(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)

A．f(x)的定义域为R

B．f(x)的值域为(－∞，4)

C．若f(x)＝3，则x的值是

D．f(x)<1的解集为(－1，1)

解析：选BC　由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0，4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)．当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；当x≤－1时，x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．故选B、C.

13．设函数f(x)＝则f＝________，若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．

解析：f＝＝＝，

当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2，

当x0>0时，由>1，得x0>1.

所以x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．

答案：　(－∞，－2)∪(1，＋∞)

14．下表为某市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).

(1)试写出水费y(元)与年用水量x(立方米)之间的函数解析式；

(2)若某户居民一年交水费1 040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少．

解：(1)依题意得

y＝

即y＝

(2)依题意得y＝1 040，

若x∈[0，180]，则5x＝1 040，解得x＝208，

不合题意，舍去；

若x∈(180，260]，则7x－360＝1 040，解得x＝200，符合题意；

若x>260，则9x－880>1 040，不合题意．

故该用户当年用水量为200立方米．

因此，自来水费为2.07×180＋4.07×20＝454(元)，水资源费为1.57×200＝314(元)，污水处理费为1.36×200＝272(元)．

[C级　拓展探究]

15．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x－3|，x∈R.

(1)在同一直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)∀x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min(x)＝{f(x)，g(x)}，请用图象法和解析法表示函数m(x)；

(3)求满足f(x)>g(x)的x的取值范围．

解：(1)f(x)＝

g(x)＝

则对应的图象如图：

(2)m(x)图象如图：

解析式为m(x)＝

(3)若f(x)>g(x)，

则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件；

此时对应的x满足x>0或x<－2，

即不等式f(x)>g(x)的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．