人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算达标测试，共5页。

1．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是( )
A．a与b的长度必相等 B．a∥b
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
解析：选C 根据相反向量的定义可知，C错误，因为0与0互为相反向量，但0与0相等．故选C.
2．已知非零向量a与b同向，则a－b( )
A．必与a同向 B．必与b同向
C．必与a是平行向量 D．与b不可能是平行向量
解析：选C 向量a与b同向，当|a|>|b|时，a－b与a和b同向；当|a|<|b|时，a－b与a和b反向；当|a|＝|b|时，a－b＝0.综上可知a－b必与a和b是平行向量．故选C.
3.如图，已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b，eq \(OC,\s\up6(―→))＝c，则eq \(EF,\s\up6(―→))＝( )
A．a＋b
B．b－a
C．c－b
D．b－c
解析：选D eq \(EF,\s\up6(―→))＝eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))－eq \(OC,\s\up6(―→))＝b－c.
4．(多选)下列结果为零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(―→))－(eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CA,\s\up6(―→))) B.eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))－eq \(CD,\s\up6(―→))
C.eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OD,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)) D.eq \(NO,\s\up6(―→))＋eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \(MN,\s\up6(―→))－eq \(MP,\s\up6(―→))
解析：选BCD A项，eq \(AB,\s\up6(―→))－(eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CA,\s\up6(―→)))＝eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(BA,\s\up6(―→))＝2eq \(AB,\s\up6(―→))；B项，eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))－eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \(CB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝0；C项，eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OD,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(DA,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝0；D项，eq \(NO,\s\up6(―→))＋eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \(MN,\s\up6(―→))－eq \(MP,\s\up6(―→))＝eq \(NP,\s\up6(―→))＋eq \(PN,\s\up6(―→))＝0.故选B、C、D.
5．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(DC,\s\up6(―→))，且|eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))|＝|eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))|，则四边形ABCD的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选B 如图，∵eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(DC,\s\up6(―→))，∴四边形ABCD为平行四边形．∴eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(DB,\s\up6(―→)).由已知|eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))|＝|eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))|.∴|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝|eq \(DB,\s\up6(―→))|.又∵对角线相等的平行四边形为矩形．故选B.
6．向量eq \(MN,\s\up6(―→))可以写成：①eq \(MO,\s\up6(―→))＋eq \(ON,\s\up6(―→))；②eq \(MO,\s\up6(―→))－eq \(ON,\s\up6(―→))；③eq \(OM,\s\up6(―→))－eq \(ON,\s\up6(―→))；④eq \(ON,\s\up6(―→))－eq \(OM,\s\up6(―→)).其中正确的是________(填序号)．
解析：①eq \(MO,\s\up6(―→))＋eq \(ON,\s\up6(―→))＝eq \(MN,\s\up6(―→))；②eq \(MO,\s\up6(―→))－eq \(ON,\s\up6(―→))＝－eq \(OM,\s\up6(―→))－eq \(ON,\s\up6(―→))＝－(eq \(OM,\s\up6(―→))＋eq \(ON,\s\up6(―→)))≠eq \(MN,\s\up6(―→))；③eq \(OM,\s\up6(―→))－eq \(ON,\s\up6(―→))＝eq \(NM,\s\up6(―→))；④eq \(ON,\s\up6(―→))－eq \(OM,\s\up6(―→))＝eq \(MN,\s\up6(―→)).
答案：①④
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与b共线，∴|a－b|＝2.
答案：0 2
8．边长为1的正三角形ABC中，|eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))|＝________
解析：如图延长AB到D，使AB＝BD.
∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(BD,\s\up6(―→))，∴|eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))|＝|eq \(BD,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))|＝|eq \(CD,\s\up6(―→))|.∵△ABC为边长为1的正三角形．∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ACD为直角三角形，∴|eq \(DC,\s\up6(―→))|＝ eq \r(|\(AD,\s\up6(―→))|2－|\(AC,\s\up6(―→))|2)＝eq \r(3)，∴|eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))|＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
9.向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
(1)用a，d，e表示eq \(DB,\s\up6(―→))；
(2)用b，c表示eq \(DB,\s\up6(―→))；
(3)用a，b，e表示eq \(EC,\s\up6(―→))；
(4)用d，c表示eq \(EC,\s\up6(―→)).
解：由题图知eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(BC,\s\up6(―→))＝b，eq \(CD,\s\up6(―→))＝c，eq \(DE,\s\up6(―→))＝d，eq \(EA,\s\up6(―→))＝e.
(1)eq \(DB,\s\up6(―→))＝eq \(DE,\s\up6(―→))＋eq \(EA,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＝d＋e＋a；
(2)eq \(DB,\s\up6(―→))＝eq \(CB,\s\up6(―→))－eq \(CD,\s\up6(―→))＝－eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \(CD,\s\up6(―→))＝－b－c；
(3)eq \(EC,\s\up6(―→))＝eq \(EA,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝e＋a＋b；
(4)eq \(EC,\s\up6(―→))＝－eq \(CE,\s\up6(―→))＝－(eq \(CD,\s\up6(―→))＋eq \(DE,\s\up6(―→)))＝－c－d.
10.如图所示，已知在矩形ABCD中，|eq \(AD,\s\up6(―→))|＝4eq \r(3)，设eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(BC,\s\up6(―→))＝b，eq \(BD,\s\up6(―→))＝c.试求|a＋b＋c|.
解：a＋b＋c＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→)).如图，延长BC至E，使CE＝BC，连接DE.
∵eq \(CE,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))，∴四边形ACED是平行四边形，∴eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(DE,\s\up6(―→))，∴eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(DE,\s\up6(―→))＋eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(BE,\s\up6(―→))，∴|a＋b＋c|＝|eq \(BE,\s\up6(―→))|＝2|eq \(BC,\s\up6(―→))|＝2|eq \(AD,\s\up6(―→))|＝8eq \r(3).
[B级 综合运用]
11．(多选)给出下面四个推论，其中正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))
B．若向量eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(BC,\s\up6(―→))共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(BC,\s\up6(―→))反向共线，则|eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(BC,\s\up6(―→))|＝AB＋BC
解析：选AD A中，eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))恒成立，故A正确；B中，在△ABC中，eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))，但AC12．已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(PB,\s\up6(―→))＝eq \(PC,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))，则下列结论正确的是( )
A．点P在△ABC内部
B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上
D．点P在直线AC上
解析：选D ∵eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(PB,\s\up6(―→))＝eq \(PC,\s\up6(―→))＋eq \(AB,\s\up6(―→))，∴eq \(PB,\s\up6(―→))－eq \(PC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(PA,\s\up6(―→))，∴eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AP,\s\up6(―→))，eq \(CB,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(AP,\s\up6(―→))，即eq \(CA,\s\up6(―→))＝eq \(AP,\s\up6(―→)).故点P在边AC所在的直线上．
13．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝2，则|eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→))|＝________．
解析：因为eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))，
∠DAB＝60°，AB＝AD，
所以△ABD为等边三角形．
又因为|eq \(AB,\s\up6(―→))|＝2，所以OB＝1.
在Rt△AOB中，|eq \(AO,\s\up6(―→))|＝ eq \r(|\(AB,\s\up6(―→))|2－|\(OB,\s\up6(―→))|2)＝eq \r(3)，
所以|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝2|eq \(AO,\s\up6(―→))|＝2 eq \r(3).
答案：2 eq \r(3)
14．三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P保持平衡，设eq \(PA,\s\up6(―→))＝a，eq \(PB,\s\up6(―→))＝b，eq \(PC,\s\up6(―→))＝c，判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后保持平衡，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形．
eq \(PD,\s\up6(―→))＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.同理∠APB＝∠BPC＝120°.
又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．
[C级 拓展探究]
15.如图，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AD,\s\up6(―→))＝b.
(1)用a，b表示eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(DB,\s\up6(―→))；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
(3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|?
(4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？
解：(1)eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))＝a－b.
(2)由(1)知，a＋b＝eq \(AC,\s\up6(―→))，a－b＝eq \(DB,\s\up6(―→)).
∵a＋b与a－b所在直线互相垂直，∴AC⊥BD.
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|.
(3)|a＋b|＝|a－b|，即|eq \(AC,\s\up6(―→))|＝|eq \(DB,\s\up6(―→))|.
∵矩形的两条对角线相等，
∴当a与b所在直线互相垂直，即AD⊥AB时，满足|a＋b|＝|a－b|.
(4)不可能．∵▱ABCD的两条对角线不可能平行，∴a＋b与a－b不可能为共线向量，更不可能为相等向量．