分式及分式方程 中上学案（无答案）

一、教学目标

1.理解分式概念及意义；

2.通过对分式性质的学习可以正确进行分式的通分和约分，理解最简分式的概念并会化简；

3.掌握分式的加减乘除法法则，能够进行复杂的混合运算，并把结果化简为最简分式；

4.理解分式方程的定义，掌握解分式方程的一般步骤；

5.理解分式方程可能无解的原因，并掌握检验的方法；

6.掌握分式方程以及分式方程的应用常考题型。

二、知识梳理

(一)、分式的定义：

知识点1、概念

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，式子（B≠0）就叫做分式。整式和分式统称为有理式。

知识点2、分式有无意义

1、因为零不能作为除数，所以分数的分母不能是零；在分式中，分式中的分母如果是零，则分式没有意义

故在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取使分母不等于零的值。

2、分式的值为0，意味着分子___________分母________________；

当分式的值为正时，分式的分子和分母符号_______；当分式的值为负时，分式的分子和分母符号______。

（1）当B=0时，分式无意义；当B≠0时，分式有意义。

（2）当时，分式的值为零；当时，分式的值为1。

（3）当时，即或时，为正数；当时，即或时，为负数。

（4）当时　或时，为非负数。

(二)、分式的基本性质

由六部分构成：①分式的分子与分母；②都乘以（或除以）；③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分式的值不变。运用这一性质主要是解决“最简分式化简”“约分”“通分”的问题。

知识点1、性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

表示：，，其中A、B、C是整式，B≠0，C0。   拓展：

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点2、分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点3、最简分式

定义：一个分式的分子和分母只有公因式1时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。

知识点4、分式的通分

定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式。变形后的分母叫做这几个分式的公分母。

分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

(三)、分式的加减乘除运算

知识点1、同分母的分式加减

    同分母的分式加减法法则：                                   结果化为最简分式。

知识点2、异分母的分式加减

    异分母的分式加减法：首先             ；然后                结果化为最简分式。

知识点3、分式的乘除

（1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。×=。

（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。÷=×＝。

（3）分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方。( )n＝

(四)、分式方程及其应用

知识点1:分式方程的定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

知识点2: 解分式方程的一般步骤

解分式方程的基本思想：去分母，把分式方程转化为整式方程

  分式方程 整式方程

解分式方程的一般步骤：

（1）去分母：在原方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化成整式方程；

（2）解这个整式方程：得到整式方程的根；

（3）验根：检验整式方程的根是否为原分式方程的根（把整式方程的根代入最简公分母检验，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去）

    注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．

（4）写结论：原方程的根为……，或原方程无解

列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

知识点3：解分式方程产生增根的原因

在解分式方程时，我们在方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，从而把分式方程变为整式方程，因此原分式方程中分母不能为零的限制被无形取消了，这样就使未知数的取值范围扩大了，就有可能产生增根。所以解分式方程必须验根。

知识点4:分式方程应用的一般步骤

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性。

列分式方程解应用题的一般步骤：

审：分析题意，找出研究对象，建立等量关系；

设：选择恰当的未知数，注意单位；

列：根据等量关系正确列出方程；

解：解分式方程的注意事项；

验：增根、实际相符；

答：答案不写扣分。

常见的实际问题中等量关系 

1. 工程问题 

  1．工作量＝工作效率×工作时间 

  2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

2.营销问题   

  1．商品利润＝商品售价一商品成本价； 

  2.；

  3.商品销售额＝商品销售价×商品销售量；

  4.商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量． 

3.行程问题  

 1．路程＝速度×时间

 2．在航行问题中，其中数量关系是：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度；    

 3．航空问题类似于航行问题．

规律方法指导    

1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．  

 2．列方程(组)解应用题，在弄清题意后，接着就是设未知数，设未知数对后面列方程起着关键作用，对于一道应用题，首先考虑设直接未知数，如果设直接未知数不奏效，就应考虑设间接未知数，就是把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知数，求出该数后，再求出要求的数．

三、典例精讲

考点一:【定义】

1、判断下列代数式哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？哪些是分式?

（1） （2） （3） （4）       （5）   （6）

2、下列分式，其中最简分式的个数是________

3、 在中，分式的个数是___________

4、分式，，，中最简分式有（     ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

考点二：【分式的意义】

1、若不论取何实数时，分式总有意义，则的取值范围是    (    )

    A．≥1            B．>1            C．≤1           D．<1

2、当          时，分式有意义．

3、若分式的值为0，则=           ．

4、 若分式的值为零,则x的值是(   )

A.2或-2      B.2         C.-2         D.4

5、当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。

考点三：【分式的化简及求值】

1、分离整数技巧  【例】计算--

2、裂项相消技巧   【例】计算++

3、分组计算技巧   【例】 计算+--

4、变形技巧   【例】  已知x2-3x+1=0，求x2+的值。

四、综合训练

1. 已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是（　　）

A．3   B．2   C．   D．

2．已知，则的值是（   ）

A．     B.7       C.1      D.

3．已知，且，则的值为（   ）

  A．       B．         C．2         D．

4. 若的值是（    ）

A  -2           B  2          C   3          D   -3

5. 将分式中的x、y的值同时扩大3倍，则 扩大后分式的值（    ）

A、扩大3倍；  B、缩小3倍；  C、保持不变；  D、无法确定

6、当分式有意义时，x的取值范围是（    ）

A、x＜-1    B、x＞4     C、-1＜x＜4     D、x≠-1且x≠4

7、已知a<b<c<o,则，，的大小关系是（    ）

A、＜＜          B、＜＜

C、＜＜          D、＜＜

8、一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝(n为不小于2的整数)，则a4 =（ ）

A．            B．            C．            D．

9、若分式的值为，则的值为（    ）

A、1        B、-1        C、-       D、

10、设,则的值是(     )   

 A.      B.0          C.1       D.

11、已知，则（　　）

A．  B．  C．   D．

12、已知 ，则直线y=kx+2k一定经过____________象限

13、当a=﹣1时，代数式的值是__________．

14、当______ 时，分式有意义。  

15、已知，则分式的值为_____________  ．

16、若，则_______________。

17、已知a+b＝3，ab＝1，则+的值等于______________ ．

18、  观察下面一列分式：（其中x≠0），根据你发现的规律，试写出该列分式中的第n个分式是__________

19、已知，则；

20、已知三个数x,  y,  z,满足则 —————

21、化简（1）   （2）

       ；             （4） 

22、解方程              

23、已知为整数，且为整数，求所有符合条件的x的值．

24、已知，求值．

25、已知，求的值．

26、已知：，求分式的值。

27、已知，求的值．

28、 已知abc＝1，求证：＋＋＝1．

五、巩固练习

1.已知＋＝3，则代数式的值为      (　　)

A．3  B．－2

C．－  D．－

2.已知m2＋n2＝n－m－2，那么－的值等于    (　　)

A．1   B.0         C．－1  D．－

3.已知：，，则的值为______。

4.若分式方程有增根，则a的值是（     ）

A    -1         B  0        C  1          D   2

5.下列各式的变形中，不正确的是    (    )

  A．   B．  C．  D．

6.若关于x的方程+=3的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＜B．m＜且m≠C．m＞﹣D．m＞﹣且m≠﹣

7.若，则（     ）

A、 B、 C、 D、

8.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（    ）

A．  B．  C．   D．

9．一水池有甲、乙两根进水管．两管同时开放6小时可以将水池注满水．如果单开甲管5 小时后，两管同时开放，还需3小时才能注满水池，那么单独开放甲管注满水池需 (    )

    A．7．5小时         B．10小时         C．12．5小时       D．15小时

10．为保证某高速公路在2014年4月底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项任务比规定时间多用10天，乙队单独完成这项任务比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，那么可比规定时间提前14天完成任务．若设规定时间为天，由题意列出的方程是    (    )

    A．              B．

C．              D．

11.已知，则的值为         ．

12.若关于的分式方程无解，则=             .

13. 已知，则值为______.

14．某同学从家去学校上学的速度为，放学回家时的速度是，则该同学上学、放学的平均速度为            ．

15.某农场原计划用朋天完成的播种任务，如果要提前天结束，那么平均每天比原计划要多播种            __________．

16.“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，由题意列出的方程____________

17.已知，求的值.

18.已知,求的值.

19.已知a＋b－c=0，2a－b+2c=0(c≠0),求的值.

20.轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 

21.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。

22.一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校除法到追上队伍用了多长时间？

23.某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg少3元，比乙种原料0.5kg多1元，问混合后的单价0.5kg是多少元？

24．(2018·邵阳)某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．

(1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

(2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？

25.（2018·玉林）山地自行车越来越受中学生的喜爱,一网店经营的一个型号的山地自行车,今年一月份销售额为30000元, 二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降低100元,若销售的数量与上一月销售的数量相同,则销售额是27000元．

(1)求二月份每辆车售价是多少元?

(2)为了促销,三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售,网店仍可获利35%,求每辆山地自行车的进价是多少元?

六、拓展提升

1、（1）如果=3+，则m=　　；

（2）如果=5+，则m=　　；

总结：如果=a+（其中a、b、c为常数），则m=　　；

应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值

2、有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：

则第n次运算的结果yn＝____     (用含字母x和n的代数式表示)．