初中数学人教版九年级下册26.2 实际问题与反比例函数教案设计

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第二十六章  反比例函数（二）实际问题与反比例函数知识点一  利用反比例函数解决实际问题要点1.解决实际问题常用的思想（1）建模思想：解决实际问题时，通常需要对已知量和未知量进行分析，建立与某种数学知识的联系，得到一个数学模型，然后利用相关的数学知识求出这个模型的解，最后得到问题的答案.这种从数学的角度发现问题、提出问题理解问题直至解决问题的方法称为数学建模思想方法.（2）数形结合思想：“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简.在这里，主要是指把数与图象结合起来，在函数图象中获取所需的解题信息.（3）转化思想：将实际问题转化为数学问题求解.（4）方程思想：根据实际问题的条件，找出已知量和未知量之间的等量关系，列出方程求解. 要点2.建立反比例函数模型利用反比例函数解决实际问题的关键是建立反比例函数模型，即求出反比例函数解析式.一般地，建立反比例函数模型有两种常用方法：（1）待定系数法：若题目提供的信息明确函数为反比例函数，则可设反比例函数(k≠0)，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围；（2）列方程法：若题目信息中变量间的函数关系并不明确，通常列出关于函数y和自变量x的方程，通过变形得到解析式. 知识点二  常见的反比例关系要点1.与几何图形相关原理关系式当矩形面积S一定时，矩形的长a与宽b成反比例(S是常数，S≠0)当三角形的面积S一定时，三角形的一边长a与这一边上的高h成反比例(S是常数，S≠0)当柱体的体积V一定时，底面积S与高h成反比例(V是常数，S≠0)要点2.与物理相关原理关系式当路程s一定时时间t与平均速度v成反比例(s是常数，s≠0)当功W一定时力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例(W是常数，W≠0)当压力F一定时，压强p与受力面积S成反比例(F是常数，F≠0)当阻力与阻力臂一定时，动力F与动力臂l成反比例(k是常数，k≠0)在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例(U是常数，U≠0)在电路中，当用电器两端的电压一定时，用电器的功率P与电阻R成反比例(U是常数，U≠0)在密闭容器中，当气体质量m一定时，气体的密度p与体积V成反比例(m是常数，m≠0)车在行驶过程中，当功率P一定时，行驶速度v与所受阻力F成反比例(P是常数，P≠0)   知识点三  用反比例函数解决实际问题的步骤现实世界中的很多问题可以归结为“a=bc”型的关系，当a是非零常数时，b(或c)是c(或b)的反比例函数.利用反比例函数解决实际问题，先要建立反比例函数模型，即列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质结合方程(组)、不等式(组)及图象求解.用反比例函数解决实际问题的步骤：（1）审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注明解析式中变量的取值范围；（5）解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题. 要点1.利用反比例函数解决销售问题课堂练习11.便民商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为每件80元，在销售中发现，该衬衣的日销售量y(件)是销售单价x(元)的反比例函数，且当销售单价为120元时，每日可销售25件.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1400元则销售单价应定为多少元?         2.某公司有某种海产品2104千克，为寻求合适的价格，进行8天试销，情况如下：天数12345678销售价格x(元/千克)400a250240200150125120销售量y(千克)304048b608096100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系.（1）求这个反比例函数的表达式，并求a、b的值；（2）请你用描点法画出这个函数的图象；（3）按第6天的价格继续销售15天后，公司发现剩余的海产品必须在2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新价格销售，那么新确定的价格不超过多少时才能完成销售任务? x      y                 要点2.利用反比例函数解决几何问题课堂练习21.在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为4时，其相邻边长为6.（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数表达式；②当y≥4时，求x的取值范围；（2）是否有一个矩形的周长为24?如果没有，请说明理由，如果有，请求出矩形的长与宽.       要点3.利用反比例函数解决跨学科问题课堂练习31.在力F(N)的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s(m)，力F所做的功W(J)满足W=Fs.当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示.（1）求力F所做的功；（2）试确定F与s之间的函数表达式；（3）当F=4N时，求s的值.        2.如图，木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，某科技小组在一次实验中根据实验数据画出图象，如图所示：（1）求该反比例函数的解析式；（2）如果要求压强不超过600Pa，木板的面积至少要多大?       3.家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R(kΩ)随温度t(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图所示.通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ.（1）求R和t之间的解析式；（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ.          4.实验数据显示：一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=ax2+bx刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x的关系可近似地用反比例函数(k≠0)刻画.如图所示，通过测试发现酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升，酒后5小时为45毫克/百毫升.（1）求二次函数和反比例函数的解析式；（2）喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?（3）按国家规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路。参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上8:00能否驾车去上班?请说明理由.             5.近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CH4(甲烷).在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CH4的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸，爆炸后，空气中的CH4浓度成反比例下降.如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CH4浓度y关于时间x的函数解析式，并写出相应的自变量x的取值范围.（2）当空气中的CH4浓度达到36 mg/L时，井下6km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?（3）矿工只有在空气中的CH4浓度降到16 mg/L及以下时，才能回到矿井开展工作，矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?           6.制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作.设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x(分).据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图).已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃.（1）求出将材料加热时，y关于x的函数解析式;（2）求出停止加热进行操作时，y关于x的函数解析式（3）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，需停止操作，那么操作时间是多少?            课堂练习41.某村粮食总产量为a(a为常量)吨，设该村粮食的人均产量y(吨)，人口数为x(人)，则y与x之间的函数图象应为图中的（    ） A.   B.   C.   D. 2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（    ）A.不小于m3         B.小于m3 C.不小于m3         D.小于m3 3.教室内的饮水机接通电源进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(分钟)成反比例关系.直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.如图为在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃) 和时间x(分钟)的关系如图.（1）填空：a=     ，结合函数图象，求出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）饮水机有多少时间能使水温保持在70℃及以上？（3）若饮水机早上已加满水，开机温度是30℃，为了能在8:30下课时能喝到不超过50℃的开水，并节约能源，请求出当它上午什么时间点接通电源比较合适？