高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系巩固练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系巩固练习，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－2
2．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．－6 B．2
C．6 D．8
3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为eq \f(8,9)，则λ＝( )
A．2 B．－2
C．－2或eq \f(2,55) D．2或－eq \f(2,55)
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
5．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________.
6．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CA,\s\up6(→))的夹角θ的大小是________．
7．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则|eq \(PD,\s\up6(→))|的值是________．
三、解答题
8．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．
(2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量．
9．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求eq \(EF,\s\up6(→))与eq \(CG,\s\up6(→))所成角的余弦值；
(3)求|eq \(CE,\s\up6(→))|的长．
[尖子生题库]
10.
如图所示，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq \r(13)，SB＝eq \r(29).
(1)求证：SC⊥BC；
(2)求SC与AB所成角的余弦值．
课时作业(三) 空间向量的坐标与空间直角坐标系
1．解析：∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.
答案：A
2．解析：a⊥b⇒(1,5，－2)·(m,2，m＋2)＝0⇒m＋10－2m－4＝0⇒m＝6.
答案：C
3．解析：由cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9))＝eq \f(8,9)，
解得λ＝－2或λ＝eq \f(2,55).
答案：C
4．解析：eq \(AB,\s\up12(→))＝(3,4，－8)，eq \(AC,\s\up12(→))＝(5,1，－7)，
eq \(BC,\s\up12(→))＝(2，－3,1)，∴|eq \(AB,\s\up12(→))|＝eq \r(32＋42＋82)＝eq \r(89)，
|eq \(AC,\s\up12(→))|＝eq \r(52＋12＋72)＝eq \r(75)，|eq \(BC,\s\up12(→))|＝eq \r(22＋32＋1)＝eq \r(14)，
∴|eq \(AC,\s\up12(→))|2＋|eq \(BC,\s\up12(→))|2＝75＋14＝89＝|eq \(AB,\s\up12(→))|2.
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
5．解析：∵z与a共线，设z＝(2λ，－λ，2λ)．
又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，
∴λ＝－2.∴z＝(－4,2，－4)．
答案：(－4,2，－4)
6．解析：由于eq \(AB,\s\up12(→))＝(－2，－1,3)，eq \(CA,\s\up12(→))＝(－1,3，－2)，
所以eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(CA,\s\up12(→))＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|eq \(AB,\s\up12(→))|＝eq \r(14)，|eq \(CA,\s\up12(→))|＝eq \r(14)，
所以cs θ＝cs〈eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(CA,\s\up12(→))〉＝eq \f(－7,\r(14)×\r(14))＝－eq \f(1,2)，
则θ＝120°.
答案：120°
7．解析：设点P(x，y，z)，则由eq \(AP,\s\up12(→))＝2eq \(PB,\s\up12(→))，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝－2－2x，,y－3＝6－2y，,z－1＝8－2z，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，,z＝3，))即P(－1,3,3)，
则|eq \(PD,\s\up12(→))|＝eq \r(1＋12＋1－32＋1－32)＝eq \r(12)＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
8．解析：(1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，
所以(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝3λ，,4＝λx，,5＝λy，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,x＝6，,y＝\f(15,2).))
(2)向量(－3，－4,5)的模为eq \r(－32＋－42＋52)＝5eq \r(2)，
所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±eq \f(1,5\r(2))·(－3，－4，5)＝±eq \f(\r(2),10)(－3，－4,5)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),10)，\f(2\r(2),5)，－\f(\r(2),2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(2),10)，－\f(2\r(2),5)，\f(\r(2),2))).
9．解析：
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，
∴eq \(EF,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(CF,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq \(CG,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，eq \(CE,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，\f(1,2))).
(1)证明：∵eq \(EF,\s\up12(→))·eq \(CF,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×0＝0，∴eq \(EF,\s\up12(→))⊥eq \(CF,\s\up12(→))，即EF⊥CF.
(2)∵eq \(EF,\s\up12(→))·eq \(CG,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)×1＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
|eq \(EF,\s\up12(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)
|eq \(CG,\s\up12(→))|＝ eq \r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2)，
∴cs〈eq \(EF,\s\up12(→))，eq \(CG,\s\up12(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up12(→))·\(CG,\s\up12(→)),|\(EF,\s\up12(→))||\(CG,\s\up12(→))|)＝eq \f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(15),15).
(3)|eq \(CE,\s\up12(→))|＝ eq \r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(5),2).
10．解析：
(1)因为∠SAB＝∠SAC＝90°，所以SA⊥AB，SA⊥AC且AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC，如图所示，取A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由AC＝2，BC＝eq \r(13)，SB＝eq \r(29)，得C(0,2,0)，B(－eq \r(13)，2,0)，S(0,0,2eq \r(3))．
所以eq \(SC,\s\up12(→))＝(0,2，－2eq \r(3))，eq \(BC,\s\up12(→))＝(eq \r(13)，0,0)．
因为eq \(SC,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))＝0，所以SC⊥BC.
(2)设SC与AB所成的角为θ，
因为eq \(AB,\s\up12(→))＝(－eq \r(13)，2,0)，
所以eq \(SC,\s\up12(→))·eq \(AB,\s\up12(→))＝4，
又|eq \(SC,\s\up12(→))||eq \(AB,\s\up12(→))|＝4×eq \r(17)＝4eq \r(17)，
所以cs θ＝eq \f(\(SC,\s\up12(→))·\(AB,\s\up12(→)),|\(SC,\s\up12(→))||\(AB,\s\up12(→))|)＝eq \f(\r(17),17).