2022年人教版数学中考第一轮专题训练 锐角三角函数及其应用

锐角三角函数及其应用

命题点1　锐角三角函数的概念及求值

1．(2021·广西河池)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（    ）

A．        B．         C．     D．

2．(2021·浙江杭州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（    ）

A．c＝bsinB B．b＝csinB

C．a＝btanB D．b＝ctanB

命题点2　锐角三角函数的实际应用

3．(2021·贵州黔西南州)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（    ）

A．米 B．4sinα米

C．米 D．4cosα米

4．(2021·山东济宁)如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面坡度为1∶，则斜坡AB的长是               米．

5．(2021·四川遂宁)在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B处垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C，D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．(结果精确到0.1.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36)

课后练习

1．(2021·安徽)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝

∠A.若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（    ）

A． B．

C． D．4

2．(2021·山东聊城)如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（    ）

A． B．

C． D．

3．(2021·山东泰安)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26米，斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移_           米时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°＝1.2)

4．(2021·江苏盐城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长．

5．(2021·湖北十堰)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时人是否能够安全使用这架梯子？(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°＝0.26)

6．(2021·山东菏泽)某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1∶2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD.(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)

7．(2021·湖北荆门)如图，海岛B在海岛A的北偏东30°方向上，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．

(1)求∠ABE的度数．

(2)求快艇的速度及C，E之间的距离．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)

锐角三角函数及其应用

命题点1　锐角三角函数的概念及求值

1．(2021·广西河池)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是(　D　)

A．        B．         C．     D．

2．(2021·浙江杭州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(　B　)

A．c＝bsinB B．b＝csinB

C．a＝btanB D．b＝ctanB

命题点2　锐角三角函数的实际应用

3．(2021·贵州黔西南州)如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为(　B　)

A．米 B．4sinα米

C．米 D．4cosα米

4．(2021·山东济宁)如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面坡度为1∶，则斜坡AB的长是__20__米．

5．(2021·四川遂宁)在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B处垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C，D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．(结果精确到0.1.参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36)

解：如图，过点E，F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M，N.

由题意，得MB＝EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，

∴AM＝AB－MB＝60－20＝40.

在Rt△AEM中，∵tan∠AEM＝，

∴EM＝＝≈16.95.

在Rt△AFN中，∵tan∠AFN＝，

∴AN＝FN·tan∠AFN≈16.95×tan40°≈16.95×0.84≈14.24，

∴FD＝NB＝AB－AN≈60－14.24＝45.76≈45.8.

答：2号楼的高度约为45.8米．

课后练习

1．(2021·安徽)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝

∠A.若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为(　C　)

A． B．

C． D．4

2．(2021·山东聊城)如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为(　D　)

A． B．

C． D．

3．(2021·山东泰安)如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26米，斜坡AB的坡比为12∶5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移__10__米时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°＝1.2)

4．(2021·江苏盐城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长．

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，

∴∠A＝30°，

∴∠ABC＝60°.

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠CBD＝∠ABD＝30°.

又∵CD＝，

∴BC＝＝3.

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，

∴AB＝＝6.

5．(2021·湖北十堰)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6m的梯子，当梯子底端离墙面2m时，此时人是否能够安全使用这架梯子？(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°＝0.26)

解：在Rt△ABC中，

∵cosα＝，

∴AC＝AB·cosα.

当α＝50°时，AC＝AB·cos50°≈6×0.64≈3.84m；

当α＝75°时，AC＝AB·cos75°≈6×0.26≈1.56m.

所以要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端与墙面的距离应该在1.56m～3.84m之间，

故当梯子底端离墙面2m时，人能够安全使用这架梯子．

6．(2021·山东菏泽)某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1∶2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD.(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)

解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F.

∵CD⊥AD，

∴四边形BEDF是矩形，

∴FD＝BE，FB＝DE.

在Rt△ABE中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12，

设BE＝5x，AE＝12x，

根据勾股定理，得AB＝13x，

∴13x＝52，

解得x＝4，

∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48，

∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24，

∴在Rt△CBF中，CF＝FB·tan∠CBF＝24×tan53°≈24×＝32，

∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52(米).

答：大楼的高度CD约为52米．

7．(2021·湖北荆门)如图，海岛B在海岛A的北偏东30°方向上，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．

(1)求∠ABE的度数．

(2)求快艇的速度及C，E之间的距离．(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)

解：(1)如图，过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F.

由题意，得∠NAB＝30°，

∠GBE＝75°.

∵AN∥BD，

∴∠ABD＝∠NAB＝30°.

∵∠DBE＝180°－∠GBE＝180°－75°＝105°，

∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝30°＋105°＝135°.

(2)BE＝5×2＝10(海里).

在Rt△BEF中，∠EBF＝90°－75°＝15°，

∴EF＝BE·sin15°≈10×0.26＝2.6(海里)，

BF＝BE·cos15°≈10×0.97＝9.7(海里).

在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，

∴AD＝AB·sin30°＝20×＝10(海里)，

BD＝AB·cos30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3(海里).

∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，

∴∠BDC＝∠BFC＝∠DCF＝90°，

∴四边形BDCF为矩形，

∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3，

∴AC＝AD＋DC＝10＋9.7＝19.7，

CE＝EF＋CF＝2.6＋17.3＝19.9.

设快艇的速度为v海里/时，

则v＝＝9.85(海里/时).

答：快艇的速度为9.85海里/时，C，E之间的距离为19.9海里．