2021-2022学年浙江省杭州学军中学高一上学期期末数学试题含解析

这是一份2021-2022学年浙江省杭州学军中学高一上学期期末数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求得集合，结合图象求得正确结论.【详解】，所以，图象表示集合为，，.故选：B2．设，则“”是“”的（       ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】 ，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.【解析】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分不必要条件，若是的真子集，则是的必要不充分条件.3．已知，则（       ）A． B． C．-3 D．3【答案】A【分析】将看成，利用两角和的正切公式可求的值.【详解】 ，故选：A.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.4．函数的单调递增区间为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出给定函数的定义域，再结合指数型复合函数单调性求解作答.【详解】依题意，，解得：，即定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：C5．已知奇函数的图象由函数的图象向左平移个单位后得到，则m可以是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】逐项验证是否等于可得答案.【详解】当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故A正确；当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故B 错误；当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故C错误；当时，函数的图象向左平移个单位后得到，故D 错误；故选：A.6．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为，通过x块这样的普通玻璃后紫外线为y，则，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（       ）（参考数据：）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，利用对数的运算性质可得选项.【详解】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，因为，所以，则至少通过11块玻璃.故选：C.7．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得值，再由不等式恒成立得的范围．【详解】由题意的最大值是5，所以由的图象与直线相邻两个交点的距离为知，．即，即，时，，因为，所以，，所以，解得．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如，而的求法有两种：（1）由的范围，求出的范围，并根据的范围得出和的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系．（2）先利用余弦函数性质，求出时，的范围，再由已知区间是这个范围的子集，得出结论．8．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有两个整数，则实数a的取值范围为（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先由解析式得，得出关于对称，再得出在上单调递增，将原不等式转化为，然后对分，，讨论，解不等式即可.【详解】当时，，则，即关于对称又当时，在定义域上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，所以由得，即，当时，不等式无解；当时，即为，此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去；若，则即为，此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去；当，且时，，得，，显然当满足此式，不满足此式，得满足此式，不满足此式，，解得故选：A.二、多选题9．已知，.则下列选项一定正确的是（       ）A． B．的最大值为C．的最大值为2 D．【答案】ABD【分析】根据给定条件利用均值不等式、二次函数性质逐项分析即可判断作答.【详解】因，，则，，当且仅当，即时取“=”，A正确；因，，则，当且仅当时取“=”，即的最大值为，B正确；因，，则，，C不正确；因，，则，当且仅当，即时取“=”，D正确.故选：ABD10．已知函数，下列说法正确的是（       ）A．的最小正周期为B．若.则C．在区间上是增函数D．的对称轴是【答案】BD【分析】把函数化成分段函数，作出函数图象，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】依题意，，函数部分图象如图，函数是周期函数，周期为，而，即不是的周期，A不正确；因且，则当时，且，则且，，因此，，，B正确；观察图象知，在区间上不单调，事实上，，在区间上不是增函数，C不正确；观察图象知，，是函数图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，事实上，即图象关于对称，同理有图象关于对称，而函数的周期是，所以函数图象对称轴，D正确.故选：BD【点睛】结论点睛：存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.三、填空题11．如图，扇形的周长是6，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为______.【答案】2【分析】由扇形周长求得半径同，弧长，再由面积公式得结论．【详解】设半径为，则，，所以弧长为，面积为．故答案为：2．12．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是___________.【答案】【分析】根据给定函数图象借助“五点法”作图方法，依次计算即可求解作答.【详解】观察图象知，，令函数的周期为，则，解得，，而，于是得，即，又，则，所以的解析式是.故答案为：13．已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】根据给定条件分段求解不等式即可作答.【详解】因函数，则不等式化为：或，解得：，解，无解，于是得，所以不等式的解集为.故答案为：14．如图，在单位圆中，，､分别在单位圆的第一､二象限内运动，若，为等边三角形，则___________.【答案】【分析】先根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】由题意，，而点N在第二象限，所以，因为，所以.故答案为：.15．如图，一块边长为1的正方形区域，在处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，记探照灯照射在正方形内部区域（阴影部分）的面积为．若设，，则的最大值为______．【答案】【分析】利用，推出探照灯照射在正方形内部区域的面积，利用基本不等式即可求出面积的最大值．【详解】解：因为，所以，令，则，而，所以，，当且仅当时取等号，所以S的最大值为.故答案为：.16．设关于x的方程解集为M，关于x的不等式的解集为N，若集合，则________.【答案】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】由或，所以或，当时，由，可得，当时，由，可得，因此有，当时，；当时，，故答案为：17．已知，.则的最小值为___________.【答案】【分析】根据题意，将原不等式转化为，令，则原不等式等价于，易知函数在上单调递增，可得，即，再根据基本不等式，即可得到结果.【详解】由已知可得令，则原不等式等价于又函数，函数和函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，所以，可得，即，所以，当且仅当时取等号，此时的最小值为.故答案为：.四、解答题18．已知函数.（1）求函数在区间上的值域；（2）设，，求的值.【答案】（1）,（2）【解析】（1）根据题意可知，当时，，根据三角函数的性质即可求出的值域.（2）因为，所以，又，所以，根据三角函数的两角差正弦公式，进而求出结果.【详解】（1），当时，，所以，此时的值域为.（2）因为，所以，，所以，.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．已知函数（，且）.(1)若，求的值；(2)若为定义在上的奇函数，且，是否存在实数，使得0对任意的恒成立，若存在，请写出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)47；(2)存在，.【分析】(1)根据给定条件可得，由此计算即可计算的值.(2)由给定条件求出，再探求函数的单调性，然后脱去函数对应法则，分离参数并求出函数最值作答.(1)依题意，，由得：，两边平方得，解得，所以.(2)因为定义在上的奇函数，则，，即，则，而，解得，因此，，因，则在上单调递减，在上单调递增，从而得在上单调递减，，而，则，依题意，，成立，显然在上单调递增，在上单调递减，则当时，，于是得，所以存在实数满足条件，的取值范围是.20．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.(精确到0.1，参考数据：取1.4)【答案】(1)天(2)【分析】(1)利用已知可得：一次喷洒个单位的净化剂，浓度，分类讨论解出即可；(2)设从第一次喷洒起，经天，可得浓度，整理化简，利用基本不等式即可得出．(1)解：∵一次喷洒个单位的净化剂，∴浓度，则当时，由，解得，∴此时．当时，由，解得，∴此时．综合得，若一次投放个单位的制剂，则有效净化时间可达天．(2)解：设从第一次喷洒起，经天，浓度，∵，而，∴，故当且仅当时，有最小值为．令，解得，∴a的最小值为．21．已知，设函数，，，，(1)当时，求函数的值域；(2)记的最大值为，①求；②求证：.【答案】(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）令，转化为，配方求值域即可；（2）①设，换元得，分类讨论即可求解；②利用绝对值不等式的性质求出利用做差法与比较大小即可求证.(1)当时，，令，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.(2)①令，所以，因为，所以，所以，，，是对称轴为，开口向上的抛物线，，，1）当时，，，所以，2）当时，，，所以，3）当时，，，所以，综上所述：.②，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以，综上所述：所以.