2月大数据精选模拟卷01-2022年高考数学大数据精选模拟卷（广东专用）

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2月大数据精选模拟卷01（广东专用）数  学本卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以，故选：B．2．设复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，所以，故选：D．3．若正数x，y满足，则的最大值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】∵x，y均为正数，，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴，所求最大值为．4．函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】的定义域为：关于原点对称，因为，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除AC，由，排除选项D，所以选项B正确，5．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若，则，故充分；若，则或，故不必要；所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A6．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（　　）A． B． C． D．【答案】A【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：本题正确选项：7．在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】长方体中，平面，平面，∴，又平面，平面，∴，∵，∴平面，而平面，∴，是正方形，∴是与交点，即为的中点，也是的中点．是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）．设，则，解得，∴外接球半径为，表面积为．故选：C．8．如图，､是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点､两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）A．4 B． C． D．【答案】B【详解】解：根据双曲线的定义可得，因为为等边三角形，所以，所以，因为，所以，因为在中，，，所以，即，所以，所以双曲线的离心率为，二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设向量，，则（    ）A． B．C． D．与的夹角为【答案】CD【详解】因为，，所以，所以，故A错误；因为，，所以，又，则，所以与不平行，故B错误；又，故C正确；又，又与的夹角范围是，所以与的夹角为，故D正确.10．如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，则判断错误的为（    ）A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过日平均成交量的有2天C．10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅D．日认购量的方差大于日成交量的方差【答案】ABC【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于A，日成交量的中位数是26，故A错误；对于B，因为日平均成交量为，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故B错误；对于C，10月7日认购量的增幅为，10月7日成交量的增幅为，即10月7日认购量的增幅小于10月7日成交量的增幅，故C错误；对于D，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，故D正确.故选：ABC11．在的展开式中，下列说法正确的有（    ）A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项【答案】ABD【详解】的展开式中所有二项式系数和为，A正确；令可得的展开式中所有项的系数和为，B正确；通项为，令，所以的展开式中常数项为，C错误；的展开式共有7项，二项式系数最大为第4项，D正确.12．若函数在上为增函数，则（    ）A．实数a的取值范围为 B．实数a的取值范围为C．点为曲线的对称中心 D．直线为曲线的对称轴【答案】ACD【详解】由题意，函数，令，可得，所以，所以A正确，B不正确；令，可得，所以点为曲线的对称中心，所以C正确；令，可得，所以为曲线的对称轴，所以D正确.  三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】函数定义域为，导函数为，使得存在垂直于y轴的切线，即有正解，可得有解，因为，所以，当且仅当““时等号成立，所以实数a的取值范围是14．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，若动点在内及边上运动，使得，则三棱锥的体积最大值为______.【答案】【详解】因为平面，所以平面平面，因为，，所以平面，平面，因为在内及边上，所以，，所以，，因为，所以，因为，所以，在平面内，以的中点为原点，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系：则，，，设，则，，由得，化简得，所以点轨迹是圆在三角形的边上或内的弧，如图所以，当为圆与在轴上方的交点时，点到的距离最大，令，解得，所以点到的距离最大为，也就是三棱锥的高的最大值为，因为，所以三棱锥的体积最大值为.15．《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与底面成角，折断部分与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则大树原来的高度是____米（结果保留根号）．【答案】 【详解】如图所示,设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，则,, 所以．由正弦定理知,，所以(米)， (米)，(米)．答案： 16．已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，若点到的准线的距离为3，则的值为______．【答案】【详解】解：抛物线：的焦点为，准线方程为，由题意得，则抛物线方程为，则直线的方程为，由，得，设的横坐标分别为，则，所以的中点的坐标为，，则圆的半径为4，在中，，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【详解】（1）由得，当时，，当时，，所以满足时的情况，所以，因为，所以；（2）因为，所以，所以.18．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，__________，？【详解】选择①：由余弦定理可知，，由正弦定理得，，又，所以，所以是直角三角形，则，所以的面积.选择②：由正弦定理得，，即，又，所以，所以，即，又，所以.由正弦定理得，，所以的面积.选择③：因为，所以，又，所以，所以，，即.由正弦定理得，，所以的面积.19．年月日既是中华人民共和国第个国庆日，又是农历中秋节，双节同庆，很多人通过短视频或微信、微博表达了对祖国的祝福．某调查机构为了解通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，通过不同途径调查了数千个通过短视频或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出人，经统计这人中通过微信或微博表达对祖国祝福的有人．将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求的值并估计这人的平均年龄；（2）把年龄在第，，组的居民称为青少年组，年龄在第，组的居民称为中老年组，选出的人中通过短视频表达对祖国祝福的中老年人有人，问是否有的把握认为是否通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关？附：【详解】解：（1）由得，．这人的平均年龄为：．（2）前组人数为，由题意得列联表： 通过短视频表达祝福通过微信或微博表达祝福合计青少年中老年合计，所以是有的把握认为通过微信或微博表达对祖国的祝福与年龄有关．20．如图，在四棱柱中，底面，，，且，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值．【详解】（1）证明：因为，，所以，，因为，所以，所以，即．因为底面，所以底面，所以．因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：如图，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．所以，，，设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得，所以，由图知二面角为锐角，所以二面角所成角的余弦值为．21．已知椭圆：()的焦距为，过左顶点且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）若过点作两条互相垂直的直线和，分别交椭圆于，两点，问轴上是否存在一定点，使得成立，若存在，则求出该定点，若不存在，请说明理由.【详解】（1）设右焦点，右顶点，因为，所以，因为椭圆的左顶点，故直线方程为，即，由题意知，，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知右顶点，且过点的直线和的斜率存在且不为0，设直线和的方程分别为和，设，，联立，得，因为直线和椭圆交于，两点，所以，即，即，，同理.设轴上存在一定点，使得成立，则，即，即，因为，，即，解得.因此轴上存在一定点，使得成立.22．已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求整数的最大值．【详解】（1）解：若，，函数的定义域为，得.设，则.故在上单调递减，且，故当时，，即，单调递增：当时，，即，单调递减.综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解法1：原不等式等价于，即在上恒成立.设，.则，设，则.所以在上单调递增.又，，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为，则，且，即.当时，，即，故在上单调递减；当时，，即，故在上单调递增；所以由题意可知，又，得，因为.所以整数的最大值为4.解法2：原不等式等价于在上恒成立.设，则.（ⅰ）当时，在上恒成立，所以在上单调递增.故在上恒成立.（ⅱ）当时，令，得当时，，故）在上单调递减：当时，，故在上单调递增.要使在上恒成立，只需.令，，则，所以在上单调递减.又，，所以在上存在唯一的零点且，从而的解为.因为，所以整数的最大值为4.