专题1.9 与角平分线相关的几何模型（知识讲练）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题1.9 与角平分线相关的几何模型（知识讲练）

【知识回顾】

1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2、角平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
3、角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

【学习目标】

1．了解几何模型的含义；

2．掌握角平分线的几何模型，并运用几何模型解决问题.

【要点梳理】

1、模型一、 角平分线+平行线模型

如图，P是∠MO的平分线上一点，过点

P作PQ∥ON，交OM于点Q。

    结论：△POQ是等腰三角形。

特别说明：

    有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

【典型例题】

   1、 解答下列问题：

（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；

（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。

（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？

举一反三：

【变式】如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为__．

【答案】8

【分析】此题有角平分线，平移可知ID//AC,BC//IE,构造平行线+角平分线解决问题：解：解：如图，连接AI，BI，

∵点I为△ABC角平分线交点，

∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，

∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，

∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，

∴DI∥AC，EI∥BC，

∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，

∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，

∴DA＝DI，EB＝EI，

∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8．

即图中阴影部分的周长为8．

故答案为：8．

【点拨】解题关键在于作辅助线构造平行线+角平分线几何模型。

2、模型二、  角平分线+垂线构造等腰三角形模型

  如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是边OM上一点，过点A作AP⊥OP于P点，延长AP于点B。

    结论：△AOB是等腰三角形。

模型分析： 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

  【典型例题】

2. 如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，

CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。

证明：延长BA,CE交于F                      

∵BE是∠FBC的角平分线,CE⊥BE
∴△BCF是等腰△,∠F = ∠ACF
∵∠BAC = =90° = ∠BEC
∠BDA = ∠EDC,
∴E是FC的中点
∴2CE = FC
∴∠ABD = ∠FCA
∵AB = AC
∴△ABD≌△ACF
∴BD = CF
∴BD = 2CE

【总结升华】解此题关键是分析条件并通过作辅助线构成几何模型。

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。

    求证：∠2=∠1+∠C。

证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，

∴AB=FB，
∴∠2=∠AFB，
∵∠AFB=∠1+∠C，
∴∠2=∠1+∠C．

3、模型三、 角平分线上的点向两边作垂线

    如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作

PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。

    结论：PB=PA。

模型分析

    利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

3．如图，平分，点是上的一点，，，垂足分别是为、，过点作交于点，已知，，求的长．

【答案】．

【分析】由平行线和角平分线定义得出=30°，在Rt△PHF中，由30°的直角三角形的性质，得出PF=PH，然后根据角平分线上的点向两边作垂线模型得PE=PF，即可解答．

解：，

，

平分，，

，

在中，，，，

，

，，平分，

．

【点拨】本题考查直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本模型是关键，属于中考常考题型．

举一反三：

【变式1】点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．

【答案】点P到三边的距离为2cm

【分析】作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，由平分线的

解：∵点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，如图，

∴PD＝PE＝PF，

设PD＝PE＝PF＝R，

由三角形的面积公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，

∴×AC×BC＝×AC×R+×BC×R+×AB×R，

6×8＝6R+8R+10R，

R＝2，

即PD＝2cm．

答：点P到三边的距离为2cm．

【点拨】本题考查的是三角形的角平分线的交点的性质，三角形的面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．

4、模型四、 角平分线两边截取相等线段构造对称全等三角形

 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON

上截取OB=OA，连接PB。

    结论：△OPB≌△OPA。

模型分析

    利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

4．在四边形中，，，平分． 

如图，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________；(填性质定理的具体内容)

问题解决：如图，求证：.

【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）证明见解析．

【分析】

（1）由角平分线的性质解题；

（2）过点作交延长线于，于，由角平分线的性质得到DE=DF，再由同角的补角相等，解得，继而证明，再由全等三角形的性质解题．

 （1）解：∵平分，，，

∴ （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.

故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

（2）证明：如图，过点作交延长线于，于，

∵平分，，，

∴.

∵，，

∴，

在和中，

∴ ，

∴.

【点拨】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

举一反三：

【变式】如图，已知，平分．，分别在射线，上．

（1）在图1中，当时，求证：；

（2）若把图1中的条件“”改为，其他条件不变，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）由，平分，求得∠POD=∠POE=，计算出∠OPD=∠OPE=，即可得到结论；

（2）过点P作PN⊥OA于N，PM⊥OB于M，证明△PND≌△PME，得ND=ME，即可推出OD+OE=OP．

解：（1）∵，平分，

∴∠POD=∠POE=，

∵，

∴∠OPD=∠OPE=,

∴OD=OP，OE=OP，

∴；

（2）仍成立，

证明：过点P作PN⊥OA于N，PM⊥OB于M，则∠PNO=∠PMO=，

∵平分，PN⊥OA，PM⊥OB，

∴PN=PM，

∵，，

∴∠NDP=∠OEP，

在△PND和△PME中，

，

∴△PND≌△PME，

∴ND=ME，

由（1）可得ON=OM=OP，

∴OD+OE=ON-ND+OM+ME=ON+OM=OP．

【点拨】此题考查角平分线的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．

5、角平分线模型综合训练

5．如图，在ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC．

（1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；

（2）求证：BC＝2AB．

【答案】（1）40°；（2）证明见解析

【分析】（1）由角平分线的定义求出，再由等边对等角和三角形的外角性质，即可求出答案；

（2）过点E作EF⊥BC于点F，先得到EA＝EF，然后证明△AEB≌△FEB，则AB=FB，然后得到BC＝2AB．

 （1）解： ∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，

∴ .

∵EB＝EC，

∴ .

∵∠DEC是△EBC的一个外角，

∴.

（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，如图：

∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，

∴EA＝EF.                                      

在Rt△AEB 和Rt△FEB 中

∵

∴ △AEB≌△FEB （HL）                            

∴ AB=FB（全等三角形的对应边相等）                   

∵EB＝EC，EF⊥BC，

∴BC＝2FB.                                            

∴BC＝2AB．

【点拨】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．

【变式】如图，在△ABC中，∠C=90°，若CD=1.5，BD=2.5；

(1)∠2=∠B，求AC的长；

(2)，求的长．

【分析】（1）根据∠2=∠B可得AD=BD=2.5，再根据勾股定理即可求出AC的长；

（2）过D作DE⊥AB，垂足为E，由角平分线的性质可知CD=DE，根据勾股定理可得出BE的长，再判断出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出AC=AE，根据勾股定理即可解答．

解：（1）∵∠2=∠B，BD=2.5，

∴AD=BD=2.5，

在RtACD中，，  

∵CD=1.5，

∴；  

（2）过D作DE⊥AB，垂足为E，

∵∠1=∠2，
∴CD=DE=1.5，
在Rt△BDE中，BE=，
∵CD=DE，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，

∴AB=AE+BE=AC+2，
∴AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+（1.5+2.5）2，
解得AC=3．

【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质及勾股定理、直角三角形全等的判定定理与性质，熟知角平分线的性质是解答此题的关键，难度适中．