必修 第一册3.3 幂函数练习题

幂函数

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.下列函数中不是幂函数的是(　　)

A.y= B.y=

C.y=22x D.y=x-1

【解析】选C.显然C中y=22x=4x,不是y=xα的形式,所以不是幂函数,而A,B,D中的α分别为,,-1,符合幂函数的结构特征.

2.下列幂函数中①y=x-1;②y=;③y=x;④y=x2;⑤y=x3,其中在定义域内为增函数的个数为 (　　)

A.2  B.3  C.4  D.5

【解析】选B.由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.

　【补偿训练】

幂函数f(x)=(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m可能等于(　　)

A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3

【解析】选B.f(x)在(0,+∞)上是减函数,

所以3m-5<0(m∈N),则m=0或m=1,

当m=0时,f(x)=x-5是奇函数,不合题意.

当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,因此m=1.

3.已知点(3,)在幂函数f(x)的图象上,则f(x)在其定义域内是(　　)

A.增函数 B.减函数

C.奇函数 D.偶函数

【解析】选A.设f(x)=xα,则3α=,得α=,

所以f(x)=,

因为函数的定义域为[0,+∞),所以函数为非奇非偶函数,因为α=>0,所以f(x)=在[0,+∞)上为增函数.

4.已知m=(a2+3)-1,n=3-1,则(　　)

A.m≥n  B.m≤n

C.m=n  D.m与n的大小不确定

【解析】选B.设f(x)=x-1,因为a2+3≥3>0,且f(x)=x-1在(0,+∞)上为减函数,所以f(a2+3)≤f(3),即m≤n.

5.下列命题中,不正确的是(　　)

A.幂函数y=x-1是奇函数

B.幂函数y=x2是偶函数

C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数

D.y=既不是奇函数,又不是偶函数

【解析】选C.因为x-1=,=-,所以A正确;

(-x)2=x2,所以B正确;-x=x不恒成立,所以C不正确;y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以D正确.

6.幂函数f(x)=xα满足x>1时f(x)>1,则α满足条件(　　)

A.α>1  B.0<α<1

C.α>0  D.α>0且α≠1

【解析】选A.当x>1时f(x)>1,即f(x)>f(1),f(x)=xα为增函数,且α>1.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是　　　　. 

【解析】因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,

所以y=xα在(0,+∞)上为减函数,故α<0.

答案:α<0

8.设x∈(0,1)时,y=xp(p∈R)的图象在直线y=x的上方,则p的取值范围是　　　　. 

【解析】结合幂函数的图象性质可知p<1.

答案:p<1

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点.

(1)求函数f(x)的解析式,并判断奇偶性.

(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性,并用单调性定义证明.

(3)作出函数f(x)在定义域内的大致图象(不必写出作图过程).

【解析】(1)依题意得=()α,α=-2.故f(x)=x-2.

f(-x)=(-x)-2==x-2=f(x),所以f(x)是偶函数.

(2)假设任意x1<x2<0,

f(x1)-f(x2)=-=

=<0,所以f(x1)<f(x2),

所以f(x)在(-∞,0)上是增函数.

(3)如图.

10.已知幂函数y=(m∈Z)的图象与x,y轴都无公共点,且关于y轴对称,求m的值,并画出它的图象.

【解析】由已知,得m2-2m-3≤0,所以-1≤m≤3.

又因为m∈Z,所以m=-1,0,1,2,3.

当m=0或m=2时,y=x-3为奇函数,其图象不关于y轴对称,不符合题意.

所以m=±1或m=3.当m=-1或m=3时,有y=x0,其图象如图(1).

当m=1时,y=x-4,其图象如图(2).