福建省南平市2021届高三数学二模试卷 （含答案）


福建省南平市2021届高三数学二模试卷
一、单选题（共8题；共40分）
1.设集合 A={2,3,4} ，集合 B={x∣x2-3x+m=0} ．若 A∩B={2} ，则 B= （    ）
A. {1,-2}                                  B. {1,0}                                  C. {1,2}                                  D. {1,3}
2.复数 z 满足 zz=i ，则复平面上表示复数 z 的点位于（   ）
A. 第一或第三象限                         B. 第二或第四象限                         C. 实轴                         D. 虚轴
3.函数 f(x)=1-2x1+2x⋅cosx 的图象的大致形状是（    ）
A.                                 B. 
C.                                 D. 
4.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 2α ，则该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为（   ）

A. 3sinα                               B. 3cosα                               C. 2sinα                               D. 2cosα
5.克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献． 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： C=Wlog2(1+SN) ．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率 C 取决于信道带宽 W 、信道内信号的平均功率 S 、信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 SN 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽 W ，而将信噪比 SN 从1000提升至4000，则 C 大约增加（    ）
A. 10%                                     B. 20%                                     C. 30%                                     D. 50%
6.过点 P(2,1) 的直线 l 与函数 f(x)=x-1x-2 的图象交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则 (OA+OB)⋅OP= （    ）
A. 5                                        B. 25                                        C. 5                                        D. 10
7.某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：
A品牌的使用年限
2
3
4
5
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
B品牌的使用年限
2
3
4
5
概率
0.1
0.3
0.4
0.2
更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析（   ）
A. 不更换设备                B. 更换为A设备                C. 更换为B设备                D. 更换为A或B设备均可
8.设函数 f(x)=(x-1)ex ，若关于 x 的不等式 f(x)0 ， b>0 ， a2+b2-ab=2 ，则下列不等式恒成立的是（    ）
A. 1a+1b≤2                        B. ab≤2                        C. a+b≤22                        D. a2+b2≥4
11.己知函数 f(x)=sin(ωx+π6) 与函数 g(x)=cos(2x+θ) 有相同的对称中心，则下列结论正确的是（    ）
A. 若方程 m=f(x) 在 x∈[0,π4] 上有两个不同的实数根，则 m 取值范围是 [12,1)
B. 将函数 |f(x)| 的图象向右平移 π2 个单位，会与函数 |g(x)| 的图象重合
C. 函数 f(x) 的所有零点的集合为 {x∣x=kπ2+π6,k∈Z}
D. 若函数 g(x) 在 [0,π6] 上单调递减，则 θ=2π3+2kπ ， k∈Z
12.在菱形 ABCD 中， AB=2 ， ∠ABC=60° ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成大小为 θ(θ∈(0°,180°)) 的二面角 B-AC-D ，四面体 ABCD 内接于球 O ，下列说法正确的是（    ）
A. 四面体 ABCD 的体积的最大值是1                     B. 无论 θ 为何值，都有 AB⊥DC
C. 四面体 ABCD 的表面积的最大值是 4+23      D. 当 θ=60° 时，球 O 的体积为 5213π81
三、填空题（共4题；共20分）
13.请写出与曲线 f(x)=x3+1 在点 (0,1) 处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为 g(x)= ________．
14.过抛物线 C:y2=2px(p>0) 焦点 F 的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，点 A 在第一象限，若 |AF|=3|BF| ，则直线 l 的倾斜角为________．
15.福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划（简称中学生“英才计划”），在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养，现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有________一种．（结果用数字作答）
16.在平面直角坐标系中，定义 P(x1,y1) 、 Q(x2,y2) 两点间的直角距离为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2| ，如图， BC 是圆 A:(x-1)2+y2=1 当 x≥32 时的一段弧， D 是 BC 与 x 轴的交点，将 BC 依次以原点 O 为中心逆时针旋转 60∘ 五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则 d(C,D)= ________．若点 P 为曲线上任一点，则 d(O,P) 的最大值为________．

四、解答题（共6题；共70分）
17.在① 2ccosB=2a-b ，② △ABC 的面积为 34(a2+b2-c2) ，③ cos2A-cos2C=sin2B-sinAsinB ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，且________．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c=2 且 4sinAsinB=3 ，求 △ABC 的面积．
18.已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn+n=2an(n∈N*) ．
（1）证明：数列 {an+1} 是等比数列；
（2）设 bn=2nanan+1 ，求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn ．
19.如图，已知四边形 ACDE 为菱形， ∠CDE=60° ， AC⊥BC ， F 是 DE 的中点，平面 ABC∩ 平面 BDE=l ．

（1）证明： l⊥ 平面 BCF ；
（2）若平面 ABC⊥ 平面 ACDE ， AC=BC=2 ，求 AE 与平面 BDE 所成角的正弦值．
20.一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术(5G)的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的SingleRAN算法在部署5G基站时可以把原来的4G、3G基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村．
附：设u=lny，则ui=lnyi，(i=1,2,⋯,12)，y≈1299.17，u≈6.88，i=112(xi-x)2=143，i=112(xi-x)(yi-y)=37238，i=112(xi-x)(ui-u)≈32.42，对于样本(xi,yi)，(i=1,2,⋯,n)的线性回归方程y=bx+a有b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，a=y-bx．
（1）现抽样调查英市所轴的A地和B地5G基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：

已覆盖
未覆盖
A地
20
80
B地
25
75
视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地多的概率；
（2）该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
283
340
428
547
701
905
1151
1423
1721
2109
2601
3381
探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型y=aebx拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站数y关于月份x的回归方程．（b的值精确到0.01）．
21.已知点 P(2,2) 在椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上，且椭圆 C 的离心率为 22 ，若过原点的直线交 C 于A ， B 两点，点A在第一象限， AD⊥x 轴，垂足为 D ，连接 BD 并延长交 C 于点 E ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）证明： AB⊥AE ．
22.已知函数 f(x)=(x-4)ex-3-12x2+3x-72 ， g(x)=aex+cosx ，其中 a∈R ．
（1）讨论函数 f(x) 的单调性，并求不等式 f(x)>0 的解集；
（2）若 a=1 ，证明：当 x>0 时， g(x)>2 ；
（3）用 max{m,n} 表示 m ， n 中的最大值，设函数 h(x)=max{f(x),g(x)} ，若 h(x)≥0 在 (0,+∞) 上恒成立，求实数 a 的取值范围．


















答案解析部分
一、单选题（共8题；共40分）
1.设集合 A={2,3,4} ，集合 B={x∣x2-3x+m=0} ．若 A∩B={2} ，则 B= （    ）
A. {1,-2}                                  B. {1,0}                                  C. {1,2}                                  D. {1,3}
【答案】 C 【解答】由 A∩B={2} 得 2∈B ，即 x=2 是方程 x2-3x+m=0 的根， 4-6+m=0
所以 m=2 ， B={1,2} ，
故答案为：C．
2.复数 z 满足 zz=i ，则复平面上表示复数 z 的点位于（   ）
A. 第一或第三象限                         B. 第二或第四象限                         C. 实轴                         D. 虚轴
【答案】 B 【解答】设复数 z=a+bi(a,b∈R) ，则 z=a-bi(a,b∈R) ，
因为 zz=i ，
所以 a-bia+bi=i ，即 a-bi=-b+ai ，
所以 a=-b，
所以在复平面上表示复数 z 的点位于第二或第四象限，
故答案为：B
3.函数 f(x)=1-2x1+2x⋅cosx 的图象的大致形状是（    ）
A.                                 B. 
C.                                 D. 
【答案】 D 【解答】由 f(x)=1-2x1+2x⋅cosx ，得
f(-x)=1-2-x1+2-x⋅cos(-x)=2x-12x+1⋅cosx=-1-2x1+2x⋅cosx=-f(x) ，
则函数 f(x) 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B，C，
当 x∈(0，π2) 时 f(x)0 ， b>0 ，利用基本不等式 ab≤a2+b22 化简 a2+b2-ab=2
得 a2+b2-2=ab≤a2+b22 （当且仅当 a=b=2 时，等号成立），
解得 a2+b2≤4 ，D不符合题意；
故答案为：BC
11.己知函数 f(x)=sin(ωx+π6) 与函数 g(x)=cos(2x+θ) 有相同的对称中心，则下列结论正确的是（    ）
A. 若方程 m=f(x) 在 x∈[0,π4] 上有两个不同的实数根，则 m 取值范围是 [12,1)
B. 将函数 |f(x)| 的图象向右平移 π2 个单位，会与函数 |g(x)| 的图象重合
C. 函数 f(x) 的所有零点的集合为 {x∣x=kπ2+π6,k∈Z}
D. 若函数 g(x) 在 [0,π6] 上单调递减，则 θ=2π3+2kπ ， k∈Z
【答案】 B,D
【解答】易知 ω=2
当 x∈[0,π4] 时， 2x+π6∈[π6,2π3] ， f(0)=12 ， f(π6)=1 ， f(π4)=32 ，
当 x∈[0,π6] 时， f(x) 单调递增，当 x∈[π6,π4] 时， f(x) 单调递减，
若方程 m=f(x) 在 x∈[0,π4] 上有两个不同的实数根，则 f(x)∈[32,1) ，
m∈[32,1) ，A不符合题意；
因为函数 f(x) 与函数 g(x) 有相同的对称中心，所以 f(x)=g(x) 或 f(x)=-g(x) ，
即 |f(x)|=|g(x)| ， |f(x)| 周期为 π2 ，B符合题意；
由 sin(2x+π6)=0 ， 2x+π6=kπ ，得 x=kπ2-π12 ， k∈Z ，C不符合题意；
若函数 g(x) 在 [0,π6] 上单调递减，又函数 f(x)=sin(2x+π6) 在 [0,π6] 上单调递增，所以 g(x)=-f(x) ，即 cos(2x+θ)=-sin(2x+π6)=cos[π2+(2x+π6)]=cos(2x+2π3) ，所以 θ=2π3+2kπ ， k∈Z ，D符合题意．
故答案为：BD

12.在菱形 ABCD 中， AB=2 ， ∠ABC=60° ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折成大小为 θ(θ∈(0°,180°)) 的二面角 B-AC-D ，四面体 ABCD 内接于球 O ，下列说法正确的是（    ）
A. 四面体 ABCD 的体积的最大值是1                     B. 无论 θ 为何值，都有 AB⊥DC
C. 四面体 ABCD 的表面积的最大值是 4+23      D. 当 θ=60° 时，球 O 的体积为 5213π81
【答案】 A,C,D
【解答】对于A选项，∵ AC=AB=2 ， ∠ABC=60° ，
则 △ABC 为等边三角形，取 AC 的中点 E ，则 BE⊥AC ，
同理可知， △ACD 为等边三角形，故 DE⊥AC ，
且 BE=DE=2sin60°=3 ， S△ABC=12AC⋅BE=3 ，
设二面角 B-AC-D 的平面角为 θ=∠BED ，设点 D 到平面 ABC 的距离为 d ，
则 d=DEsinθ=3sinθ ， VD-ABC=13S△ABC⋅d=13×3×3sinθ=sinθ≤1 ，
当且仅当 θ=90° 时，等号成立，
即当 θ=90° 时，四面体 ABCD 的体积的最大值是1，A符合题意；
对于B选项，取 AB 中点 F ，连接 CF ，

若 AB⊥CD ，因为 AB⊥CF ， CD∩CF=C ，所以 AB⊥ 平面 CDF ，
从而 AB⊥DF ， DB=DA ，而 DB ， DA 不一定相等，B不符合题意；
对于C选项， S△ACD=S△ABC=3 ，
∵ AB=AD=BC=CD ， BD=BD ，∴ △ABD≌△CBD ，
所以， S△CBD=S△ABD=12AB⋅ADsin∠BAD=2sin∠BAD≤2 ，
因此，四面体 ABCD 的表面积的最大值是 2×3+2×2=4+23 ，C选项正确；
对于D选项，设 M 、 N 分别为 △ABC 、 ΔACD 的外心，则 EN=EM=13BE=33 ，
在平面 BDE 内过点 M 作 BE 的垂线与过点 N 作 DE 的垂线交于点 O ，
∵ BE⊥AC ， DE⊥AC ， BE∩DE=E ，∴ AC⊥ 平面 BDE ，
∵ OM⊂ 平面 BDE ，∴ OM⊥AC ，
∵ OM⊥BE ， BE∩AC=E ，∴ OM⊥ 平面 ABC ，同理可得 ON⊥ 平面 ACD ，
则 O 为四面体 ABCD 的外接球球心，
连接 OE ，∵ EM=EN ， OE=OE ， ∠OME=∠ONE=90° ，∴ △OME≌△ONE ，所以， ∠OEM=θ2=30° ，∴ OE=EMcos30°=23 ，
∵ AC⊥ 平面 BDE ， OE⊂ 平面 BDE ，∴ OE⊥AC ，
∴ OA=OE2+AE2=133 ，即球 O 的半径为 R=133 ，
因此，球 O 的体积为 V=43πR3=521381π ， D选项正确．
故答案为：ACD．
三、填空题（共4题；共20分）
13.请写出与曲线 f(x)=x3+1 在点 (0,1) 处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为 g(x)= ________．
【答案】 答案不唯一， g(x)=x2+1 或 g(x)=-x2+1 或g(x)=cosx等
【解答】 f'(x)=3x2 ， f'(0)=0
曲线 f(x)=x3+1 在点 (0,1) 处的切线方程为 y=1 ，所有在点 (0,1) 处的切线方程为 y=1 的函数都是正确答案．
故答案为：答案不唯一， g(x)=x2+1 或 g(x)=-x2+1 或g(x)=cosx等
14.过抛物线 C:y2=2px(p>0) 焦点 F 的直线 l 交 C 于 A ， B 两点，点 A 在第一象限，若 |AF|=3|BF| ，则直线 l 的倾斜角为________．
【答案】 60°
【解答】过 A,B 作 AA' ， BB' 垂直准线 x=-p2 ，垂足为 A' ， B' ，过 B 作 AA' 垂线，垂足为 C ，

由抛物线定义知 |BF|=|BB'| ， |AF|=|AA'| ， |BF|=14|AB| ．
所以 |AC|=|AA'|-|BB'|=|AF|-|BF|=2|BF|=12|AB| ，
又因为 BC⊥AA' ，所以 ∠BAC=60° ，即直线 l 的倾斜角为 60° ．
故答案为：60°.
15.福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划（简称中学生“英才计划”），在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养，现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有________一种．（结果用数字作答）
【答案】 54
【解答】分两类， C42C22A22A32+C42C21C11A22A33=54 ．
16.在平面直角坐标系中，定义 P(x1,y1) 、 Q(x2,y2) 两点间的直角距离为 d(P,Q)=|x1-x2|+|y1-y2| ，如图， BC 是圆 A:(x-1)2+y2=1 当 x≥32 时的一段弧， D 是 BC 与 x 轴的交点，将 BC 依次以原点 O 为中心逆时针旋转 60∘ 五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则 d(C,D)= ________．若点 P 为曲线上任一点，则 d(O,P) 的最大值为________．

【答案】1+32；1+3+222
【解答】由图可知，点 C 位于第一象限，在圆 A 的方程中，令 x=32 ，可得 y=±32 ，则点 C(32,32) .
如图可得，点 D(2,0) ，所以 d(C,D)=|2-32|+|0-32|=1+32 ；
根据对称性，只需讨论点 P 在第一象限的情况：
当点 P 在 CD 上时，设 ∠PAD=θ ，则 θ∈[0,π3] ，则 P(1+cosθ,sinθ) ，
所以 d(O,P)=|1+cosθ|+|sinθ|=1+cosθ+sinθ=1+2sin(θ+π4) ，
∵0≤θ≤π3 ，则 π4≤θ+π4≤7π12 ，当 θ+π4=π2 时， d(O,P)max=1+2 ；
当点 P 不在 CD 上时，所在圆的圆心为 E(12,32) ，
易知直线 CE⊥y 轴，设 ∠PEC=α ， α∈[0,2π3] ，同理可得 P(12+cosα,32+sinα) ，则 cosα∈[-12,1] ， sinα∈[0,1] ，
d(O,P)=|12+cosα|+|32+sinα|=12+cosα+32+sinα=1+32+2sin(α+π4) ，
∵0≤α≤2π3 ，则 π4≤α+π4≤11π12 ，当 α+π4=π2 时， d(O,P)max=1+3+222 .
因为 1+3+222>1+2 ，所以， d(O,P) 的最大值为 1+3+222 .
四、解答题（共6题；共70分）
17.在① 2ccosB=2a-b ，② △ABC 的面积为 34(a2+b2-c2) ，③ cos2A-cos2C=sin2B-sinAsinB ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
已知 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，且________．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 c=2 且 4sinAsinB=3 ，求 △ABC 的面积．
【答案】 （1）解：若选条件① 2ccosB=2a-b ，则 2ca2+c2-b22ac=2a-b ，
即 a2+b2-c2=ab ，所以 cosC=12 ，
又因为 C∈(0,π) ，所以 C=π3 ．
若选条件② △ABC 的面积为 34(a2+b2-c2) ，则 34(a2+b2-c2)=12absinC ，
即 sinC=3cosC ，所以 tanC=3 ，
又因为 C∈(0,π) ，所以 C=π3 ．
若选条件③ cos2A-cos2C=sin2B-sinAsinB ，
则 (1-sin2A)-(1-sin2C)=sin2B-sinAsinB ，
即 sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB ，
即 a2+b2-c2=ab ，所以 cosC=12 ，
又因为 C∈(0,π) ，所以 C=π3 ．

（2）解：因为 c=2 ，所以 asinA=bsinB=csinC=2sinπ3=43 ，
所以 sinA=34a ， sinB=34b ，
又因为 4sinAsinB=3 ，所以 ab=4 ，
△ABC 的面积为 12absinC=3 ．
18.已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn+n=2an(n∈N*) ．
（1）证明：数列 {an+1} 是等比数列；
（2）设 bn=2nanan+1 ，求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn ．
【答案】 （1）证明：因为 Sn+n=2an(n∈N*) ①
当 n=1 时， a1+1=2a1 得 a1=1 ．
当 n≥2 时， Sn-1+n-1=2an-1 ②，①②两式相减得 an=2an-1+1(n≥2)
即 an+1=2(an-1+1)(n≥2) ，
所以数列 {an+1} 是以2为公比，以2为首项的等比数列，

（2）解：由（1）知 an+1=2n(n∈N*) ，即 an=2n-1(n∈N*) ．
∵ bn=2nanan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1 ，
则 Tn=b1+b2+…+bn=(1-13)+(13-17)+…+(12n-1-12n+1-1)=1-12n+1-1 ，
19.如图，已知四边形 ACDE 为菱形， ∠CDE=60° ， AC⊥BC ， F 是 DE 的中点，平面 ABC∩ 平面 BDE=l ．

（1）证明： l⊥ 平面 BCF ；
（2）若平面 ABC⊥ 平面 ACDE ， AC=BC=2 ，求 AE 与平面 BDE 所成角的正弦值．
【答案】 （1）证明：已知四边形 ACDE 为菱形， ∠CDE=60° ，所以 △CDE 是等边三角形，因为 F 是 DE 的中点，所以 AC⊥CF ，
又 AC⊥BC ， CF∩BC=C ， CF ， BC⊂ 平面 BCF ，
所以 AC⊥ 平面 BCF ，
又菱形 ACDE 中， ED//AC ， AC⊄ 平面 BDE ， DE⊂ 平面 BDE ，
所以 AC// 平面 BDE ．
而 AC⊂ 平面 ABC ，平面 ABC∩ 平面 BDE=l ，得 l//AC ．
因此 l⊥ 平面 BCF ．

（2）解：因为平面 ABC⊥ 平面 ACDE ，平面 ABC∩ 平面 ACDE=AC ，
AC⊥BC ， BC⊂ 平面 ABC ，
所以 BC⊥ 平面 ACDE ，
于是 CA ， CB ， CF 两两互相垂直，以 C 为坐标原点，以 CA ， CB ， CF 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系．

则 C(0,0,0) ， A(2,0,0) ， B(0,2,0) ， D(-1,0,3) ， E(1,0,3) ，
所以 BD=(-1,-2,3) ， DE=(2,0,0) ， AE=(-1,0,3) ，
设平面 BDE 的法向量 n=(x,y,z) ，
由 {n⋅BD=0n⋅DE=0 ，得 {-x-2y+3z=0x=0 ，可取 n=(0,3,2) ，
所以 cos〈AE,n〉=AE⋅n|AE|⋅|n|=232⋅7=217 ．
20.一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术(5G)的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的SingleRAN算法在部署5G基站时可以把原来的4G、3G基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村．
附：设u=lny，则ui=lnyi，(i=1,2,⋯,12)，y≈1299.17，u≈6.88，i=112(xi-x)2=143，i=112(xi-x)(yi-y)=37238，i=112(xi-x)(ui-u)≈32.42，对于样本(xi,yi)，(i=1,2,⋯,n)的线性回归方程y=bx+a有b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2，a=y-bx．
（1）现抽样调查英市所轴的A地和B地5G基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：

已覆盖
未覆盖
A地
20
80
B地
25
75
视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地多的概率；
（2）该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
283
340
428
547
701
905
1151
1423
1721
2109
2601
3381
探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型y=aebx拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站数y关于月份x的回归方程．（b的值精确到0.01）．
【答案】 （1）解：用样本估计总体，抽到 A 地 5G 覆盖的村概率为 15 ，抽到 B 地 5G 覆盖的村概率为 14 ，
A 地抽到的2个村中 5G 基站覆盖的村个数为 X ，则 X 满足二项分布 B(2,15)
P(X=i)=C2i(15)i(45)2-i ， i=0,1,2
B 地抽到的2个村中 5G 基站覆盖的村个数为 Y ，则 Y 满足二项分布 B(2,14)
P(Y=i)=C2i(14)i(34)2-i ， i=0,1,2 ，
从 A 地和 B 地各随机抽取2个村，这4个村中 A 地 5G 覆盖的村比 B 地 5G 覆盖的村多的概率为
P=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=1)
=C21(15)(45)(34)2+(15)2(34)2+(15)2C21(14)(34)=87400 ．

（2）解：由指数模型 y=aebx ，设 u=lny ，则 u=lna+bx ，则 u 与 x 是线性相关关系．
因为 x=1+2+3+……+1212=6.5 ， u≈6.88 ，
i=112(xi-x)(ui-u)≈32.42 ， i=112(xi-x)2=143 ，
所以 b=i=1n(xi-x)(u2-u)i=1n(xi-x)2≈32.42143≈0.23 ，
lna≈u-bx≈6.88-0.23×6.5≈5.39 ，
即 u=5.39+0.23x ，即 y=e5.39+0.23x ．
21.已知点 P(2,2) 在椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上，且椭圆 C 的离心率为 22 ，若过原点的直线交 C 于A ， B 两点，点A在第一象限， AD⊥x 轴，垂足为 D ，连接 BD 并延长交 C 于点 E ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）证明： AB⊥AE ．
【答案】 （1）解：因为点 P(2,2) 在椭圆 C 上，所以 2a2+2b2=1 ①，
又因为椭圆 C 的离心率为 22 ，所以 22=1-(ba)2 ②，
由①②得， a2=6 ， b2=3 ．所以椭圆 C 的方程为 x26+y23=1

（2）证明：设直线 AB 的斜率为 k ，则其方程为 y=kx(k>0) ．
设 A(u,uk) ， B(-u,-uk) ， D(u,0) ．
于是直线 BE 的斜率为 k2 ，方程为 y=k2(x-u) ．由 {y=k2(x-u)x26+y23=1 ，
得 (2+k2)x2-2uk2x+k2u2-12=0 ．③
设 E(x1,y1) ，则 -u 和 x1 是方程③的解，故 x1-u=2uk22+k2 ，
故 x1=u(3k2+2)2+k2 ，由此得 y1=k2(x-u)=uk32+k2 ．
从而直线 AE 的斜率为 uk32+k2-uku(3k2+2)2+k2-u=-1k ，所以 AB⊥AE ．
22.已知函数 f(x)=(x-4)ex-3-12x2+3x-72 ， g(x)=aex+cosx ，其中 a∈R ．
（1）讨论函数 f(x) 的单调性，并求不等式 f(x)>0 的解集；
（2）若 a=1 ，证明：当 x>0 时， g(x)>2 ；
（3）用 max{m,n} 表示 m ， n 中的最大值，设函数 h(x)=max{f(x),g(x)} ，若 h(x)≥0 在 (0,+∞) 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）解：f'(x)=(x-3)ex-3-x+3=(x-3)(ex-3-1)，
当x>3时，x-3>0，ex-3-1>0，∴f'(x)>0，
当x0，得ex>1，sinx∈[-1,1]，
则g'(x)=ex-sinx>0，即g(x)在(0,+∞)上为增函数．
故g(x)>g(0)=2，即g(x)>2．

（3）解：由（1）知，
当x≥3时，f(x)≥0恒成立，故h(x)≥0恒成立；
当x