人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念图文ppt课件

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斐波那契,意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部,其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题:如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄),而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系:Fn=Fn-1+Fn-2(n>2),其中Fn表示第n个月的兔子的总对数.那么什么是递推关系呢?
一、递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.名师点析通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,就可代入通项公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将与之联系的各项依次求出.
微练习设数列{an}满足a1=1,
二、数列的通项与前n项和1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
名师点析(1)已知数列{an}的前n项和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必须注意它成立的条件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若当n=1时,a1的值不等于S1的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即
微练习已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2,求数列{an}的通项公式.
解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,当n=1时,2×1-1=1,故a1不适合②式.∴数列{an}的通项公式为
由递推公式求前若干项
分析:由a1的值和递推公式,分别逐一求出a2,a3,a4,a5的值.
反思感悟由递推公式写出数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
变式训练1已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则此数列的第5项是(　　)A.15B.255C.16D.63
解析:因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B
由递推公式求数列的通项公式
反思感悟由递推公式求通项公式常用的方法有两种:(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.
由数列的前n项和求通项公式例3若数列{an}的前n项和Sn=-2n2+10n,求数列{an}的通项公式.
解:∵Sn=-2n2+10n,∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).当n=1时,a1=-2+10=8=-4×1+12.此时满足an=-4n+12,∴an=12-4n.
延伸探究试求本例中Sn的最大值.
又∵n∈N*,∴当n=2或n=3时,Sn最大,即S2或S3最大.
函数思想在数列中的应用典例在数列{an}中,an=3n2-14n-8,求该数列的最小项.
方法总结解决数列问题时,可以借鉴函数的方法,但必须注意数列相对函数的特殊性,尤其是数列中的项数n只能取正整数.
2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　　)A.0B.C.2D.5
解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,
3.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是(　　)A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,则数列{an}的通项公式an=(　　)