大题专练训练39：导数（双变量与极值点偏移问题2）-2022届高三数学二轮复习

这是一份大题专练训练39：导数（双变量与极值点偏移问题2）-2022届高三数学二轮复习，共12页。试卷主要包含了已知函数，为的导函数，已知函数，已知函数与有相同的定义域，已知函数，其中，已知函数在和时取极值，且等内容，欢迎下载使用。
二轮大题专练39—导数（双变量与极值点偏移问题2）1．已知函数，为的导函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）当时，求证：对任意的，，，且，有．解：（1）当时，，，可得（1），（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．（2）依题意，，从而可得，整理可得：，令，解得，当变化时，，的变化情况如下表：0单调递减极小值单调递增所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为（1），无极大值．（3）证明：由，得．对任意的，，，且，令，则①，令，，，当时，，由此可得在，单调递增，所以当时，（1），即，因为，，，所以②，由（1）、（2）可知，当时，（1），即，故③，由①②③可得，故当时，任意的，，，且，有．2．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个不同的零点，．①求实数的取值范围；②证明：．解：（1）当时，，，，（1），又，曲线在点，（1）处的切线方程是；（2）函数有两个不同的零点，，等价于方程有两个不同实根，．①令，则，在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值，由于（1），当时，；当，，的大致图象如图所示．当，即时，函数有两个不同的零点，，故实数的取值范围是；②证明：不妨设，，，两式相加得，两式相减得，．要证，只需证，即证，设，令，则，函数在上单调递增，且（1），，即．3．已知函数在定义域内有两个不同的极值点．（1）求的取值范围；（2）设两个极值点分别为，，证明：．解：（1）由题意得，的定义域是，，令，函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在上2个零点，，当时，在上，，递减，不满足题意，当时，在上，，递增，在，上，，递减，要使在上2个零点，只需，即，解得：，故的范围是；（2）由（1）可知，，，两式相减可得①，，要证明，只需证明，即证明，②，把①代入②整理得：，令，即证明，令，则，当时，，函数在递减，故（1），故，命题得证．4．已知函数．（1）若，求曲线在，（1）处的切线方程；（2）设存在两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）时，，故（1），又（1），故切线过，切线方程是：；（2），，令，得，存在两个极值点，，△，故，，故，故，，由恒成立，得，令，，，，故，故在递减，故，故，即实数的范围是，．5．已知函数．（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，，，，恒成立，求的取值范围．解：（1）由函数解析式知：，由题意，得（3），故．经检验，满足题意．（2）由已知，当时，只需，，．．①当时，在，单调递减，在，单调递增．所以，而，，故．所以，解得（舍去）．②当时，在，单增，在，单调递减，在，单调递增．由于，所以只需，即，所以．③当时，，在，单调递增，所以，满足题意．④当时，在，单调递增，在，单调递减，在，单调递增．由于，所以只需，即，所以．综上，可得．6．已知函数与有相同的定义域．（1）解关于的不等式；（2）若方程有两个相异实数根，，且在区间，上单调递减，证明：．（参考结论：，（1）解：已知函数与有相同的定义域，所以与的定义域都是，方程的判别式△，①当△，即时，在上恒成立；②当△，即时，的根为，所以的解集为，且；③当△，即时，的两根为，，若，则，所以的解集为，或；若，则，所以的解集为．综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为或；当时，的解集为，且；当时，的解集为．（2）证明：由（1）知，若方程有两个相异实数根，，则，且，，因为在，上是减函数，所以，所以．因为时，，又，所以．因为，且，所以，所以，所以．7．已知函数．（1）若函数在点，（1）处的切线方程为，求，的值及的极值；（2）若，对，，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意可知函数的定义域为，，．函数在点，（1）处的切线方程为，（1），，，，．令，得或．当变化时，，的变化情况如下表：100单调递增单调递减单调递增的极小值为（1），极大值为．（2）当时，．不等式，可化为为．令．由题可得，对，，，当时，不等式恒成立，即在，上单调递减．在，上恒成立，即在，上恒成立．令，则在，上恒成立．在，上单调递增，（2），，实数的取值范围为，．8．已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，若函数有两个极值点，且证明：．解：（1）由，得，①当时，，在上单调递增；②当时，令，则，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当时，，，则的定义域为，由有两个极值点，，且，可知方程的判别式△，且，，，且，设，则在上恒成立，在上单调递减，（1），． 9．已知函数在和时取极值，且．（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范围．解：（1），，在和时取极值，，，是的两个不等实根，，，解得，经检验，符合题意．（4分）（2）由（1）知，，，是的两个不等实根，，，，，（8分）设（a），，，①又，是的两个不等实根，△，得，②由①②知，（10分）而（a），设（a），则，（2），由二次函数的性质可知（a）在上恒成立，则（a）在上恒成立，则（a）在上单调递减，而，（2），故的取值范围为．（12分）