2022宜宾高三下学期第二次诊断性测试（3月）（二模）数学（理）含答案

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宜宾市高2019级二诊考试数学（理工类）参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题题号123456789101112答案ABCBCDCADADA 二、填空题13．        14．       15．         16．三、解答题12．解：设，，过作，由题意，当三棱锥的体积最大时，必定有面面，即就是三棱锥的最大高，在中，，又，，又，令，由，在上单调递减，当时，即时，17．解（1）由题意：的取值为：1,2,3,4,5，，，…………………………………2分………………………………………5分，………………………………………………………………6分， ……………………………………………………………………7分2022年的营业里程数为（万公里）…………………………8分（2）在12.7,13.1,14.0,14.9,15.3五个数中，有2个超过14万公里，有3个没有超过14万公里，设取得的两个数中，至少有一个超过14万公里为事件A，则由题意知：，即所求概率为．……………………………12分18．选择①解：（1）由有当时，，解得…………………………………1分当时，，………………………………………………2分所以，即，两边各项同除以得，…………………………………………………4分    ……………………………………………………………………6分（2）由（1）知，已知……………………………………………………8分…………………………………9分…………………………………………………10分另一方面，是关于的增函数，综上有：．……………………………………………………………12分选择②解：（1）由有…………………………………………………………1分所以或，所以舍去………………………………………………………………………3分当时，，当时，，当时，符合上式，…………………………………………………………………………6分（2）由（1）知……………………………………………………8分………………………………9分………………………………………………10分 另一方面，是关于的增函数，综上有：．……………………………………………………………12分19.解：（1）连接，由题意，，，是中点， ．已知，，面，则……………………2分在中，，，，由余弦定理得：，．，则面，于是． …………4分，与相交，面，面，．……………………………………………………………………… 6分 （2）连，，设，由（1）知，，两两垂直，故分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，由题意，则，，，取面的法向量，设面的法向量，则，令，则，，即……………………………………………………………………8分设面与面的二面角为，则：，…………………11分当时，，即长为时，所求锐二面角最小．………12分20．解：（1）解：，，，  ……１分，………………………………3 分：………………………………………………………………………４分 （2）设:，:，（），（） 由联立得：， 得，同理6分又……………………………………………………………………7分点到的距离……………………………………………………8分所以………9分 ………………………………11分当即时，四边形的面积为定值.……………………12分 21．解：（1）当时，，，………1分的定义域为，，，在单调递增，在单调递减，………………………………3分．……………………………………………5分（2）法一：，在单调递增，…………6分取，且则取，且则可见，，使得，即，当时，，单调递减当时，，单调递增……………………………………8分依据题意有：即令在单增，………………………………………………………………10分又发现，则有，有，即令，即单调递增……………………………………………………………………………12分（2）法二：由题意，恒成立，即对任意恒成立，对任意恒成立，对任意恒成立，对任意恒成立，对任意恒成立，对任意恒成立，……………………7分令，显然在上单调递增，原题对任意恒成立，即对任意恒成立，………………………………………8分又由（1）知：，，……………………………………………………………10分又由的解析式知的取值范围为：．…………………………………………………………12分22解：（1）设，，由已知得，，………………………………………………………3分则 ,　曲线的极坐标方程为 ……………5分（2）法一：的直角坐标方程为 的直角坐标方程为 由得点的直角坐标为……………………………６分由已知可设的直角坐标为,则到的距离……………７分 …………………………………………8分当时面积有最大值为 …………………９分这时点的直角坐标为………………………………………………10分 （2）法二：由已知得,  ７分 ……8分时，面积的最大值为.………………9分这时点的直角坐标为………………………………………………10分23. 解：（1）法一：，.………………2分 ………………………………………4分（当且仅当时取等）的最大值为　　 .………………5分（1）法二：柯西不等式（当且仅当时取等）……………………5分（2）法一：　……………………………7分又,同理：,…………8分, , …………10分（2）法二：柯西不等式（2），（当且仅当时取等）………7分同理可得：（当且仅当时取等）…………………………8分（当且仅当时取等）………………………………………9分（当且仅当时取等）………………………………………………………分