专题10.1 概率与统计（选填题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题10.1 概率与统计（选填题）

A组 5年高考真题

1．（2021全国Ⅲ理3）在一组样本数据中，出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是              （   ）

A．                 B．

C．                  D．

【答案】B

【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为，因此B选项这一组的标准差最大，故选B．

2．（2019全国II理5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数 B．平均数 

C．方差   D．极差

【答案】A【解析】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．故选A．
3．（2018全国Ⅰ理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例              建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【解析】通解 设建设前经济收入为，则建设后经济收入为，则由饼图可得建设前种植收入为，其他收入为，养殖收入为．建设后种植收入为，其他收入为，养殖收入为，养殖收入与第三产业收入的总和为，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A．

优解  因为，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A．

4．（2017新课标Ⅲ理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误，故选A．

5．(2016年全国III理)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是

A．各月的平均最低气温都在0℃以上        B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同    D．平均气温高于20℃的月份有5个

【答案】D

【解析】由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个，D不正确，故选D．

6．（2021全国Ⅰ文理5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是 （   ）

A．          B．          C．          D．

【答案】D

【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图像附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是，故选D．

7．（2021全国Ⅰ文4）设为正方形的中心，在中任取点，则取到的点共线的概率为 （   ）

A．                B．                C．                D．

【答案】A

【解析】如图，从个点中任取个有，，共种不同取法，点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到点共线的概率为，故选A．

8．（2021全国Ⅱ文理4）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为，志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者              （   ）

A．名 B．名 C．名 D．名

【答案】B

【解析】由题意，第二天新增订单数为，故需要志愿者名，故选B．

9．（2019全国I理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（   ）

A． B．  C．  D．

【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数，则该重卦恰有3个阳爻的概率，故选A．

10．（2018全国Ⅰ理）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则

A．   B．      C．    D．

【答案】A

【解析】通解  设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积

，所以，由几何概型的知识知，故选A．

优解  不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积

，区域Ⅲ的面积．

根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，

，，故选A．

11．（2018全国Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．    B．    C．     D．

【答案】C

【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率，故选C．

12．（2017新课标Ⅰ理）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．          B．           C．          D．

【答案】B

【解析】设正方形的边长为，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型的概率计算，所求概率为．故选B．

13．（2017山东理）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

A．          B．         C．          D．

【答案】C【解析】不放回的抽取2次有，如图

可知与是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有=40，所求概率为．

14．（2016新课标Ⅰ理）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

A．          B．            C．            D．

【答案】B

【解析】由题意得图：

由图得等车时间不超过10分钟的概率为．

15．（2016新课标Ⅰ理）从区间随机抽取2n个数，，…，，，，…，，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为

A．           B．             C．            D．

【答案】C【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，∴，故选C．

16．（2018全国Ⅲ理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则=

A．0．7   B．0．6   C．0．4   D．0．3

【答案】B

【解析】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以，所以或．

由，得，即，所以，所以．故选B．

17．（2019全国II理13）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________．

【答案】0．98

【解析】经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：

．

18．（2019全国I理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利

时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客

主”．设甲队主场取胜的概率为0．6，客场取胜的概率为0．5，且各场比赛结果相互独立，则

甲队以4∶1获胜的概率是____________．

【答案】

【解析】由题意可得，一共比赛了5场，且第5场甲获胜，前4场甲队胜3场，输1场，有2种情况：①甲队主场输1场，其概率为：；
②甲队客场输1场，其概率为：，由于第5场必定是甲队胜，所以，则甲队以4：1获胜的概率为0．18．

B组 能力提升

19．（2021届河南省濮阳市高三模拟）设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；

②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，

两种事件又是互斥的，∴，即，∴，

∴数列是以为公比的等比数列，而，所以，

∴当时，，故选D。

20．（2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（    ）

A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147

【答案】B

【解析】

如图，由几何概型公式可知：，故选B。

21．（2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（    ）

A．14种 B．15种 C．16种 D．18种

【答案】D

【解析】首先将黑球和白球排列好，再插入红球。情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种；情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种。综上所述，共有14+4=18种，故选D。

22．（2021届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（　　）

A．该市总有 15000 户低收入家庭

B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户

【答案】D

【解析】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误，故选D。

23．（2021届河南省新乡市高三第二次模拟）山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（    ）

附：若，则，.

A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.9544

【答案】C

【解析】由题意，，，则，，

所以，.

故果实直径在内的概率为0.8185，故选C。

24．（2021届河南省驻马店市高三第二次模拟）山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（    ）

附：若，则，.

A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.9544

【答案】C

【解析】由题意，，，则，，

所以，.

故果实直径在内的概率为0.8185，故选C。

25．（2021届河南省驻马店市高三第二次模拟）设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，，

所以由图可得取自的概率为，故选B。

26．（2021届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（   ）

A．20 B．27 C．54 D．64

【答案】B

【解析】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，

则，解得：。

27．（2021届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为。

28．（2021届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以

，解得

所以相交的概率，故选C。