初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试课时训练

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试课时训练，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 第二十八章-锐角三角函数单元小测一、单选题1．在直角ΔABC中，已知∠C＝90°， ，求cosA=(　　)A． B． C． D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，则BC的长是（　　）A．5sinA B．5cosA C．5tanA D．3．在 中，∠C= ，AB=4,    ，则 的长为（　　）A．3 B．2 C． D．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（　　）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，电线杆的高度为h，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为（A、D、B在同一条直线上）（　　）A． B． C． D．6．如图，小明在学校操场A处测得旗杆的仰角为30°，沿AC方向行进10米至B处，测得仰角为45°，则旗杆的高度DC是（          ）A．米 B．米 C．10米 D．米7．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡BC=（　　）A．13m B．8m C．18m D．12m8．我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（　　）（参考数据：，）A．2.0千米 B．1.5千米 C．2.5千米 D．3.5千米9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=5，则sin∠BFD的值为（          ）A． B． C． D．10．在中，，则的值（　　）．A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定二、填空题11．计算： 　     　.  12．在Rt中，，，则　     　．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC=4，CD=3，则cos∠B的值为　     　.14．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度　     　米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈ ，tan48°≈ ，sin64°≈ ，tan64°≈2）  15．若 为锐角， ，则 　     　.  16．如图，四边形ABCD中，AB ∥CD，AD=4，AB=BC=BD=6，则∠ACD的正弦值是　     　． 17．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.1m，则建筑物AB的高度约为　     　．（结果精确到0.1m，参考数据：，，）18．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则sin∠FBA＝　     　．三、解答题19．小明尝试用自己所学的知识检测车速，如图，他将观测点设在到公路l的距离为0.1千米的P处.一辆轿车匀速直线行驶过程中，小明测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，并测得∠APO＝59°，∠BPO＝45°.根据以上的测量数据，请求出该轿车在这4秒内的行驶速度.（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）20．瞭望台AB高20m，从瞭望台底部B测得对面塔顶C的仰角为60°，从瞭望台顶部A测得塔顶C的仰角为45°，已知瞭望台与塔CD地势高低相同．求塔高CD．21．如图，在△ABC中，∠C = 90°，，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长．22．如图，为了测量某条河的宽度，在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α＝30°，∠β＝60°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．23．先化简，再求代数式的值，其中．24．先化简，再求值：，其中25．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高24m，斜坡AB的坡比i1=1：3，斜坡CD的坡比i2=1 ：2.5，求坝底宽AD的长．
答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
故答案为：C.
【分析】由同角的正弦值和余弦值的平方和恒等于1，得出结果。2．【答案】A【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，∴sinA=，∴BC=ABsinA=5sinA，故答案为：A．【分析】根据sinA=求出BC 即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：如图，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，
，
∴∠A=60°，
∴即
解之：.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出∠A的度数，再利用解直角三角形求出BC的长.4．【答案】B【解析】【解答】解：设CD=x
∵∠C＝90°，∠A＝30°
∴∠ABC＝60°
∵BD为△ABC的角平分线
∴∠ABD=∠CBD＝30°=∠A
∴AD=BD=AC-CD=12-x
在Rt△BDC中，∠CBD＝30°
BD=2CD
∴
∴x=4
即CD=4
∵BD为△ABC的角平分线，∠C＝90°
∴在△ABD中AB边上的高 =CD=4.
故答案为：B.
【分析】由直角三角形两个锐角互余，得出∠ABC的度数，由角平分线得∠ABD=∠CBD＝30°=∠A，根据等角对等边得AD=BD，根据含30°角直角三角形的性质得出CD和BD的关系式，由CD+AD=AC得出方程，得出CD的长，由角平分线上的点到角两边的距离相等，得出结果.5．【答案】B【解析】【解答】解：故答案为：B.
【分析】根据同角的余角相等，等量代换得∠BCD=∠CAB，由cos∠BCD=，代入数值即可求出BC得长度。6．【答案】A【解析】【解答】设旗杆的高度米，根据题意，得，米，∵，∴，∴，∴米，∴米，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，经检验，时，，∴是方程的根，∴旗杆的高度DC是米．故答案为：A．【分析】先求出，再利用锐角三角函数求解即可。7．【答案】A【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，∵坝高，CF⊥AB，∴DE=CF=5cm又斜坡的坡比为∴BF=12cm，在RtBCF中BC===13cm
【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据已知条件解直角三角形。8．【答案】D【解析】【解答】解：在Rt△APD中，∠DPA=30°，AP=10千米，∠ADP=90°，cos∠DPA=cos30°=，∴AD=AP=×10=5（千米），PD=AP•cos30°=10×=5（千米），在Rt△BPD中，tan∠DPB=tan45°=，∴BD=PD•tan45°=5×1=5（千米），∴AB=BD-AD=5-5≈8.5-5=3.5（千米），故答案为：D．
【分析】先利用解直角三角形APD先求出PD、AD，再利用直角三角形BPD求出BD，即可得AB的长。9．【答案】A【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，∴∠A=∠B，由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=5，∴CE=8-5=3，∴在直角△ECD中，sin∠CDE=，∴sin∠BFD=.故答案为：A.【分析】由已知条件可得∠A=∠B，由折叠的性质可得∠EDF=∠A，推出∠EDF=∠B，根据内角和定理以及平角的概念可得∠CDE=∠BFD，然后根据三角函数的概念及等角的同名三角函数值相等即可得出答案.10．【答案】A【解析】【解答】解：设直角三角形ABC中，∠A的对边长为a，∠B的对边长为b，∠C的对边长为c，∴，，∴，由三角形三边的关系得：，∴，∴，故答案为：A．【分析】设直角三角形ABC中，∠A的对边长为a，∠B的对边长为b，∠C的对边长为c，可得，，即得，根据三角形三边的关系得，即得，据此判断即可.11．【答案】【解析】【解答】解：原式= ， 故答案为： .
【分析】代入特殊角的三角函数值，同时根据有理数的乘方运算法则计算乘方，然后计算乘法即可得到结果.12．【答案】【解析】【解答】解：在中，，，．故答案为：．【分析】根据锐角三角函数的定义可得。13．【答案】【解析】【解答】解：∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线
∴CD=BD=AD=3
∴斜边AB=BD+AD=6
∴cos∠B===
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出斜边的长度，继而由锐角三角函数的性质，求出∠B的余弦值即可。14．【答案】14.7【解析】【解答】解：根据题意，得 ， 米， 在 中， ，∴ ， 在 中， ，∴ ，∵ ，即  解得： 米，∴建筑物的高度约为14.7米.故答案为：14.7.【分析】根据题意得 ：∠ADB=64°，∠ACB=48°，CD=6米，根据∠ADB、∠ACB的正切函数可求出BD、BC，然后根据CD=BC-BD进行计算.15．【答案】30º【解析】【解答】解：∵ ，tan60o= ， ∴ = ，又∵ 为锐角，∴α= .故答案为：30º.【分析】根据特殊角的三角函数值可得tan60o=，然后求出tanα的值，结合特殊角的三角函数值就可得到α的度数.16．【答案】【解析】【解答】解：∵AB=BC=BD=6，∴点A、D、C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上，如图，延长AB交圆B于点E，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∠DCB=∠CBE，∵BD=BC，∴∠CDB=∠BCD，∴∠ABD=∠CBE，∴AD=CE=4，∵AE是圆B的直径，∴∠ACE=90°，在Rt△ACE中，AE=2AB=12，∴ ，∵∠ACD=∠CAE，∴．故答案为：【分析】先求出AD=CE=4，再求出∠ACE=90°，最后利用锐角三角函数求解即可。17．【答案】7.1m【解析】【解答】解：过点作于，则四边形为矩形，，，在中，，，则，，故答案为：7.1m．【分析】先求出，，再利用锐角三角函数计算求解即可。18．【答案】【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB于G，连接AF，∵四边形CDFE是边长为2的正方形，∴CD＝CE＝DF＝EF＝2，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝6，BC＝8，∴AD＝4，BE＝6，∴AB＝＝10，AF＝＝，BF＝＝，设BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴（）2﹣（10﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝6，∴FG＝＝2，∴sin∠FBA＝＝．故答案为：.【分析】过点F作FG⊥AB于G，连接AF，由四边形CDFE是边长为2的正方形，得出AD＝4，BE＝6，根据勾股定理得出AB、AF、BF的值，设BG＝x，利用勾股定理求出x的值，得出FG的值。即可得出sin∠FBA的值。19．【答案】解：在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，PO＝0.1 ∴ BO＝PO＝0.1在Rt△AOP中，∠APO＝59°，PO＝0.1∴AO＝PO·tan59°≈0.1×1.66＝0.166∴AB＝AO－BO＝0.166－0.1＝0.066∴0.066÷ ＝59.4答：该轿车在这4秒内的行驶速度为每小时59.4千米.【解析】【分析】易得BO＝PO＝0.1，根据∠APO的正切函数可得AO，根据AB＝AO-BO求出AB，然后除以时间可得速度.20．【答案】解：设塔高CD为x，则BD=x，由BD•tan60°﹣BD•tan45°=AB，BD=x代入，得：x﹣x=20，解得：x=30+10．答：塔高CD为（30+10）米．【解析】【分析】设塔高CD为x，则BD=x，利用三角函数列出方程BD•tan60°﹣BD•tan45°=AB，再将BD=x代入方程求出x的值即可。21．【答案】解：在△BDC中，∠C=90°，∵∠BDC=45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，，∴，∴AB=10，∴AC=8，∴AD=AC-CD=8-6=2．【解析】【分析】根据已知条件求出BC的值，再根据正弦的定义求出AB，再根据勾股定理求出AC，再根据AD=AC-DC求出AD的长。22．【答案】解：过点A作AD⊥BC,垂足为D.∵∠β=∠α＋∠BAC，∴∠BAC =∠β－∠α=60°－30°=30°，∴∠α=∠BAC，∴AC=BC=100（米）．在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠β=100×=50（米）．答：河的宽度为50米．【解析】【分析】过点A作AD⊥BC,垂足为D，再利用三角形的外角的性质求出∠BAC=30°，再利用含30°角的性质求出AC=BC=100，再利用AD=AC•sin∠β计算即可。23．【答案】解：，把代入.【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值，最后将a的值代入计算即可。24．【答案】解：原式，，；∵，∴原式．【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值求出x的值，再利用分式的混合运算化简，最后将x的值代入计算即可。25．【答案】解：在Rt△ABE中， ∵坡比i1=BE：AE=1：3，∴AE=72m．在Rt△CFD中，∵坡比i2=CF ： DF=1 ： 2.5，∴DF=CF×2.5=24×2.5= 60(m)，∴AD= AE+ EF+DF=AE+BC+DF= 138(m)．【解析】【分析】利用坡比的定义可求出AE，DF的长，然后根据AD=AE+EF+DF，代入计算求出AD的长.