人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第一课时学案

第一课时　用空间向量研究距离问题

“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等．数学中的“距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的．

[问题]　(1)到目前为止，你学习过哪些“距离”？

(2)以上这些“距离”的定义有什么共同点？

(3)在空间中任意两个图形之间的距离怎样定义的？应怎样计算空间距离问题？

知识点一　点P到直线l的距离

如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝＝．

已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选A　＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝.

知识点二　点P到平面α的距离

如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影的长度．因此PQ＝＝＝．

已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为(　　)

A．10　　　 B．3　　　　

C.　　　 D.

解析：选D　∵＝(－1，2，4)，∴P(－2，1，4)到α的距离为＝＝.

[例1]　如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．

[解]　∵AB＝1，BC＝2，AA′＝3，

∴A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，

∴＝(1，2，－3)．取a＝＝(0，2，0)，

u＝＝，

则a2＝4，a·u＝，

∴点B到直线A′C的距离为

＝＝.

用向量法求点到直线的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的单位方向向量u；

(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a；

(4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离．　　　　

[跟踪训练]

已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．

解：以D点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设DA＝2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2)．

取a＝＝(1，0，－2)，u＝＝(1，－2，1)，

则a2＝5，a·u＝－，所以点A到EF的距离为＝＝.

[例2]　在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．

[解]　取AC的中点O，连接OS，OB.

∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，

∴SO⊥平面ABC.

又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，

则B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，，)．

∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0)．

设n＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，

则 取z＝1，

则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．

∴点B到平面CMN的距离d＝＝.

求点到平面的距离的主要方法

(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；

(2)在三棱锥中用等体积法求解；

(3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)．

[注意]　线面距、面面距实质上是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．　　　　

[跟踪训练]

1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．

(1)求证：B1C∥平面A1BD；

(2)求直线B1C到平面A1BD的距离．

解：(1)证明：连接AB1交A1B于点E，则E是AB1的中点，连接DE.因为D是AC的中点，

所以DE∥B1C，又DE⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.

(2)因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．

建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)，

＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，

＝(－1，0，3)．

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，

所以

取z＝1，则x＝3，y＝0，

所以n＝(3，0，1)．

所以点B1到平面A1BD的距离为＝，即直线B1C到平面A1BD的距离为.

2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，0)．

设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1，1，1)．

∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.

∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.

[例3]　(链接教科书第44页习题14题)如图，四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝3AB＝3a，求异面直线AB与PC的距离．

[解]　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则B(a，0，0)，C(a，a，0)，P(0，0，3a)．

则＝(a，0，0)，＝(a，a，－3a)．

设，的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，由

⇒

取z＝1，则y＝3，有n＝(0，3，1)．

又＝(0，0，3a)，

∴AB与PC间的距离d＝＝＝a.

异面直线距离问题的求解方法

(1)射影法：分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a，与这两条异面直线都垂直的法向量为n，则两条异面直线间的距离是a在n方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式d＝求解；

(2)转化法：如图，过其中一条异面直线b上的一点A作与另一条直线a平行的直线a1，于是异面直线的距离就可转化为直线a到平面α的距离，最后可转化为在直线a上取一点到平面α的距离，从而可借用向量的射影法求解；

(3)最值法：在两条异面直线a，b上分别任取两点A，B，建立的模的目标函数，函数的最小值即为所求．　　　　

[跟踪训练]

如图，在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AB＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，求异面直线PB与CE的距离．

解：由PE∶ED＝2∶1，知在BD上取点F使BF∶FD＝2∶1，易知PB∥EF，从而PB∥平面CEF，于是只需求直线PB到平面CEF的距离，即可求点P到平面CEF的距离．以A为坐标原点，AD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知，P(0，0，a)，C，F，E，

则＝，＝，＝.

设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则

⇒

于是令x＝0，y＝－2，z＝1，则n＝(0，－2，1)．

∴PB与平面CEF间的距离d＝＝＝a，

从而异面直线PB与CE的距离为a.

1．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．3

解析：选B　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝.故选B.

2．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　以P为坐标原点，PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)．可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)，则d＝＝.

3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选B　建立坐标系如图，

则A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，O.

∴＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)．

设n＝(1，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量，

则

解得y＝0，z＝1，∴n＝(1，0，1)．

又＝，

∴点O到平面ABC1D1的距离为＝＝.

4．已知Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．

解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，

所以＝(－4，3，0)，

＝，

所以点P到AB的距离

d＝＝＝3.

答案：3

5．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．

解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0)，

∴＝，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．

设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

取x＝1，则y＝z＝1，∴n＝(1，1，1)．

∴点M到平面ACD1的距离d＝＝.

又＝，故MN∥平面ACD1，

故直线MN到平面ACD1的距离为.

答案：