（通用版）中考数学一轮复习讲与练30《圆的有关概念及性质》精讲精练（教师版）

第七章　圆

第一节　圆的有关概念及性质

　垂径定理及推论

1.将球放在一个圆柱形玻璃杯的杯口上，图中所示是其轴截面的示意图.杯口内径AB为⊙O的弦，AB＝6 cm，⊙O的直径DE⊥AB于点C，测得tan∠DAB＝，该球的直径是____cm__.

　圆周角定理及推论

2.如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P.当点C在上半圆(不包括A，B两点)上移动时，点P(　B　)

A.到CD的距离保持不变    B.位置不变

C.等分                 D.随点C的移动而移动

　三角形的外心及圆内接三角形

3.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的(　C　)

A.垂心　　B.重心　　C.内心　　D.外心

4.如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(　B　)

A.△ABE  　　　B.△ACF      C.△ABD  　　　D.△ADE

中考考点清单

　圆的有关概念

　圆的对称性

　圆周角

【方法总结】

1.在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问题.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.

中考重难点突破

　垂径定理及应用

【例1】如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(　　)

A.5     B.7      C.9    D.11

【解析】由题意可得，OA＝13，∠ONA＝90°，AB＝24，∴AN＝12，

∴ON＝＝＝5.

【答案】A

1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝15°，半径为2，则弦CD的长为(　A　)

A.2        B.－1         C.          D.4

　与圆有关的角的计算

【例2】如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点，若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是(　A　)

A.45°  B.60°    C.75°  D.85°

【解析】据圆周角定理求得∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断.

【答案】D

2.如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC为(　D　)

A.60°　　　B.45°　　　C.35°　　　D.30°　

第七章　圆

第一节　圆的有关概念及性质

1.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝(　A　)

A.58°  B.32°  C.64°  D.72°

2.如图，在⊙O中，＝，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(　B　)

A.45°  B.50°  C.55°  D.60°

3.如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，则∠ACD＝40°，则∠CAB＝(　B　)

A.10°  B.20°  C.30°  D.40°

4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(　B　)

A.  B.2  C.6  D.8

5.如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE.若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积为(　A　)

A.12  B.15  C.16  D.18

6.如图，一个宽为2 cm的刻度尺(单位：cm)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为____cm.

7.直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是__30°或150°__.

8.如图所示，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝__35°__.

9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为__2__.

10.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值为____.

11.在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.

(1)如图①，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

(2)如图②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.

解：(1)连接OQ.

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tanB＝，

∴OP＝3tan30°＝，

在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，

∴PQ＝＝；

(2)连接OQ.在Rt△OPQ中，

PQ＝＝，

当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，

∴PQ长的最大值为.

12.(已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB，CD之间的距离为(　D　)

A.17 cm  B.7 cm   C.12 cm  D.17 cm或7 cm

13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E, 连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(　B　)

A.45°  B.50°  C.55°  D.60°

14.如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(　D　)

A.DE＝EB  B.DE＝EB   C.DE＝DO  D.DE＝OB

15.如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB＝70°，则∠ADB＝__110°__.

16.如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD＝，则AD＝__4__.

17.如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值为__2__.

18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.

(1)求证：MD＝ME;

(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝________；

②连接OD，OE，当∠A的度数为________时，四边形ODME是菱形.

解：(1)如图所示，连接AE，BD，DE.

在Rt△ABC中，点M是AC的中点，

∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA.

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠ADE＋∠ABE＝180°，

 又∠ADE＋∠MDE＝180°，

∴∠MDE＝∠MBA. 

同理可证：∠MED＝∠MAB，

∴∠MDE＝∠MED，

∴MD＝ME；

(2)①2；②60°

19.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.

 (1)判断△ABC的形状：________；

(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.

解：(1)等边三角形；

(2)PA＋PB＝PC.证明：如图，在PC上截取PD＝PA，

连接AD.∵∠APC＝60°，

∴△PAD是等边三角形，

∴PA＝AD，∠PAD＝60°.

又∵∠BAC＝60°， 则∠BAC＝∠DAB＋∠DAC＝60°，

∴∠PAB＝∠DAC.

∵AB＝AC, 

∴△PAB≌△DAC，

∴PB＝DC.

∵PD＋DC＝PC, 

∴PA＋PB＝PC；

(3)当点P为的中点时，四边形APBC面积最大.理由如下：

如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E, 过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接BO.

∵S△PAB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，

∴S四边形APBC＝AB(PE＋CF).

∵当点P为的中点时，PE＋CF ＝PC, PC为⊙O直径，

∴四边形APBC面积最大.

∵△ABC为圆内接正三角形，

∴∠BOF＝60°.

又∵⊙O的半径为1，

∴在Rt△BOF中，BF＝OBsin60°＝，

∴AB＝2BF＝，

∴S四边形APBC＝×2×＝.