2020年北京师大附中中考数学模拟试卷（五）【含答案】

这是一份2020年北京师大附中中考数学模拟试卷（五）【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年北京师大附中中考数学模拟试卷（五）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
2．（5分）在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A．千里江山图
B．京津冀协同发展
C．内蒙古自治区成立七十周年
D．河北雄安新区建立纪念
3．（5分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥
4．（5分）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＜﹣5 B．b+d＜0 C．|a|﹣c＜0 D．c
5．（5分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（　　）
A．45° B．60° C．72° D．90°
6．（5分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长不足11小时的节气是（　　）

A．惊蛰 B．小满 C．秋分 D．大寒
7．（5分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）图1是2020年3月26日全国新冠疫情数据表，图2是3月28日海外各国疫情统计表，图3是中国和海外的病死率趋势对比图，根据这些图表，选出下例说法中错误的项（　　）

A．图1显示每天现有确诊数的增加量＝累计确诊增加量﹣治愈人数增加量﹣死亡人数增加量
B．图2显示美国累计确诊人数虽然约是德国的两倍，但每百万人口的确诊人数大约只有德国的一半
C．图2显示意大利当前的治愈率高于西班牙
D．图3显示大约从3月16日开始海外的病死率开始高于中国的病死率
二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）
9．（5分）若代数式的值为0，则实数x的值为　 　．
10．（5分）若a﹣b＝2，则代数式（﹣b）•＝　 　．
11．（5分）如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝　 　．

12．（5分）比较大小：　 　1（填“＞”、“＜”或“＝”）．
13．（5分）举例说明命题“若＞，则b＞a．”是假命题，a＝　 　，b＝　 　．
14．（5分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠ACB＝　 　．（点A，B，C是网格线交点）．

15．（5分）数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：
甲同学：A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1）；
乙同学：A（0，0），B（0，﹣1），C（﹣1，﹣1），D（1，0）；
丙同学：A（0，3），B（0，0），C（3，0），D（3，3）；
丁同学：A（1，1），B（1，﹣2），C（4，﹣2），D（4，1）；
上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是　 　．

16．（5分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如表统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．假定每位顾客购买商品的可能性相同．
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率为　 　．
（2）如果顾客购买了甲，并且同时也在乙、丙、丁中进行了选购，则购买　 　（填“乙”、“丙”、“丁”）商品的可能性最大．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．计算：+（）﹣1﹣2cos45°﹣|2﹣3|．
18．解不等式组，并求该不等式组的非负整数解．
19．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．
20．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF＝∠BAE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长度．

21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

d．中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第　 　；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为　 　万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是　 　．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．
（1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长．
（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

23．已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．
（1）若α＝60°，k＝1，
①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；
②直接写出PA、PQ的数量关系；
（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．


2020年北京师大附中中考数学模拟试卷（五）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（　　）
A．5.8×1010 B．5.8×1011 C．58×109 D．0.58×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将580 0000 0000用科学记数法表示应为5.8×1010．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（5分）在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A．千里江山图
B．京津冀协同发展
C．内蒙古自治区成立七十周年
D．河北雄安新区建立纪念
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B选项不是中心对称图形，故本选项错误；
C选项为中心对称图形，故本选项正确；
D选项不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（5分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱，
故选：C．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
4．（5分）若实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＜﹣5 B．b+d＜0 C．|a|﹣c＜0 D．c
【分析】根据各点在数轴上的位置、加减法符号法则、实数的算术平方根，对各个选择支作出判断．
【解答】解：由数轴知：﹣5＜a＜﹣4，a＜b＜0＜d，|b|＜|d|，|a|＞|c|
∵﹣5＜a＜﹣4，所以选项A错误；
∵b＜0＜d且|b|＜|d|，所以b+d＞0，故选项B错误；
∵a＜0＜c且|a|＞|c|，所以|a|﹣c＞0．故选项C错误；
∵0＜c＜1，，所以c＜．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴、实数加减的符号法则及算术平方根．解决本题的关键是掌握实数加减的符号法则：减法：大数﹣小数＞0，小数﹣大数＜0；加法：正数+正数＞0，负数+负数＜0，正数+负数的符号与绝对值较大的加数的符号相一致．
5．（5分）如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（　　）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为360°、且每个外角相等求解可得．
【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6．
则正多边形的一个外角＝，
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．
6．（5分）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长不足11小时的节气是（　　）

A．惊蛰 B．小满 C．秋分 D．大寒
【分析】根据图象，可以写出白昼时长不足11小时的节气，然后即可解答本题．
【解答】解：由图可得，
白昼时长不足11小时的节气是立春、立秋、冬至、大寒，
故选：D．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（5分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论．
【解答】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8．（5分）图1是2020年3月26日全国新冠疫情数据表，图2是3月28日海外各国疫情统计表，图3是中国和海外的病死率趋势对比图，根据这些图表，选出下例说法中错误的项（　　）

A．图1显示每天现有确诊数的增加量＝累计确诊增加量﹣治愈人数增加量﹣死亡人数增加量
B．图2显示美国累计确诊人数虽然约是德国的两倍，但每百万人口的确诊人数大约只有德国的一半
C．图2显示意大利当前的治愈率高于西班牙
D．图3显示大约从3月16日开始海外的病死率开始高于中国的病死率
【分析】根据所给图表和折线图针对每个选项进行分析即可．
【解答】解：A、图1显示每天现有确诊数的增加量＝累计确诊增加量﹣治愈人数增加量﹣死亡人数增加量，故原题说法正确；
B、图2显示美国累计确诊人数虽然约是德国的两倍，但每百万人口的确诊人数大约只有德国的一半，故原题说法正确；
C、图2显示西班牙当前的治愈率高于意大利，故原题说法错误；
D、图3显示大约从3月16日开始海外的病死率开始高于中国的病死率，故原题说法正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了统计表和折线统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
二、填空题（每题5分，满分40分，将答案填在答题纸上）
9．（5分）若代数式的值为0，则实数x的值为　x＝1　．
【分析】分式的值为零，分子等于零．
【解答】解：依题意得：，
所以x﹣1＝0，
解得x＝1．
故答案是：x＝1．
【点评】考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
10．（5分）若a﹣b＝2，则代数式（﹣b）•＝　　．
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a﹣b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣b）•
＝
＝
＝，
当a﹣b＝2时，原式＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
11．（5分）如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点．若，AC＝3，则DC＝　2　．

【分析】由DE∥AB可得出△DEC∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出＝（）2＝，再结合AC＝3即可求出DC的长度．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝．
又∵AC＝3，
∴DC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理找出△DEC∽△ABC是解题的关键．
12．（5分）比较大小：　＞　1（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】直接估计出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
故＞1．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较，正确得出的取值范围是解题关键．
13．（5分）举例说明命题“若＞，则b＞a．”是假命题，a＝　1答案不唯一　，b＝　﹣2　．
【分析】通过实例说明命题不成立即可．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣2时，＞，得出a＞b，
故答案为：答案不唯一，1，﹣2．
【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
14．（5分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠ACB＝　45°　．（点A，B，C是网格线交点）．

【分析】延长BA交格点于D，连接CD，根据勾股定理得到AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，求得AD2+CD2＝AC2，于是得到∠ADC＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长BA交格点于D，连接CD，
则AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°．
故答案为：45°．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（5分）数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：
甲同学：A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1）；
乙同学：A（0，0），B（0，﹣1），C（﹣1，﹣1），D（1，0）；
丙同学：A（0，3），B（0，0），C（3，0），D（3，3）；
丁同学：A（1，1），B（1，﹣2），C（4，﹣2），D（4，1）；
上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是　甲，丙，丁　．

【分析】正确画图，根据四个同学的原点确定平面直角坐标系，根据各点的坐标确定正方形的边长，可得结论．
【解答】解：甲同学：如图1，易知点B为原点，则AB＝BC＝CD＝AD＝1，故甲同学所标的四个点的坐标正确；

乙同学：如图2，易知点A为原点，则AB＝BC＝CD＝AD＝1，
则A（0，0），B（0，﹣1），C（1，﹣1），D（1，0），
故乙同学所标C点的坐标错误；
丙同学：如图1，易知点B为原点，则AB＝BC＝CD＝AD＝3，故丙同学所标的四个点的坐标正确；
丁同学：如图3，易知AB＝BC＝CD＝AD＝3，故丁同学所标的四个点的坐标正确；
上述四名同学表示的结果都正确的是：甲，丙，丁；
故答案为：甲，丙，丁．
【点评】本题主要考查对正方形的性质及坐标系的特点，正确画图确定平面直角坐标系是关键．
16．（5分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如表统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．假定每位顾客购买商品的可能性相同．
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率为　0.2　．
（2）如果顾客购买了甲，并且同时也在乙、丙、丁中进行了选购，则购买　丙　（填“乙”、“丙”、“丁”）商品的可能性最大．
【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．
（2）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．
【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，
故顾客同时购买乙和丙的概率为＝0.2．
（2）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为＝0.2，
同时购买甲和丙的概率为＝0.6，
同时购买甲和丁的概率为＝0.1，
故同时购买甲和丙的概率最大．
故答案为：0.2；丙．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．计算：+（）﹣1﹣2cos45°﹣|2﹣3|．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：+（）﹣1﹣2cos45°﹣|2﹣3|
＝3+5﹣2×﹣（3﹣2）
＝3+5﹣﹣3+2
＝4+2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．解不等式组，并求该不等式组的非负整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x+2）≥x+4，得：x≥﹣1，
解不等式＜1，得：x＜3，
∴原不等式解集为﹣1≤x＜3，
∴原不等式的非负整数解为0，1，2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式．
【分析】（1）分类讨论：当m＝0时，方程变形为一元一次方程，有一个解；当m≠0时，先计算判别式的值得到△＝（3m﹣1）2，根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到方程总有两个实数解，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）先解方程得到x1＝﹣，x2＝﹣3，根据抛物线与x轴的两交点问题得到交点坐标为（﹣，0），（﹣3，0），再根据正数的整除性易得m＝1，从而得到抛物线解析式．
【解答】（1）证明：当m＝0时，方程变形为x+3＝0，解得x＝﹣3；
当m≠0时，△＝（3m+1）2﹣4m•3＝（3m﹣1）2，
∵（3m﹣1）2≥0，即△≥0，
∴m≠0时，方程总有两个实数解，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：根据题意得m≠0，
mx2+（3m+1）x+3＝0．
（mx+1）（x+3）＝0，
解得x1＝﹣，x2＝﹣3，
则抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴的两交点坐标为（﹣，0），（﹣3，0），
而m为正整数，﹣也为整数，所以m＝1，
所以抛物线解析式为y＝x2+4x+3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
20．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF＝∠BAE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若DF＝3，DE＝4，AD＝5，求CD的长度．

【分析】（1）直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE＝CF，进而得出答案；
（2）利用勾股定理的逆定理得出∠EDF＝90°，进而得出•ED•DF＝EF•CD，求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠DCF＝90°，
∵∠BAE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝CF，
∴BC＝EF，
∵BC＝AD，
∴EF＝AD，
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：由（1）知：EF＝AD＝5，
在△EFD中，∵DF＝3，DE＝4，EF＝5，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴∠EDF＝90°，
∴•ED•DF＝EF•CD，
∴CD＝．

【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的逆定理，得出BC＝EF是解题关键．
21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

d．中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第　17　；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为　2.8　万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是　①②　．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；
（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；
（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；
（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．
【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，
∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
故答案为：17；
（2）如图所示：
（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；
故答案为：2.8；
（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为：①②．

【点评】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．
（1）当m＝1时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长．
（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，求出直线被抛物线G截得的线段，再画出两个函数的图象即可；
（2）先求出C、D两点的坐标，再代入直线的解析式进行检验即可；
（3）先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点坐标，再根据这两个交点之间的距离不小于2列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，
直线被抛物线G截得的线段长为，
画出的两个函数的图象如图所示：


（2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下：
∵抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，
∴点C的坐标为C（0，m﹣1），
∵y＝mx2+2mx+m﹣1＝m（x+1）2﹣1，
∴抛物线G的顶点D的坐标为（﹣1，﹣1），
对于直线：y＝mx+m﹣1（m≠0），
当x＝0时，y＝m﹣1，
当x＝﹣1时，y＝m×（﹣1）+m﹣1＝﹣1，
∴无论m取何值，点C，D都在直线上；

（3）解方程组，
得，或，
∴直线与抛物线G的交点为（0，m﹣1），（﹣1，﹣1）．
∵直线被抛物线G截得的线段长不小于2，
∴≥2，
∴1+m2≥4，m2≥3，
∴m≤﹣或m≥，
∴m的取值范围是m≤﹣或m≥．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，函数的图象，都是基础知识，需熟练掌握．
23．已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．
（1）若α＝60°，k＝1，
①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；
②直接写出PA、PQ的数量关系；
（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC为等边三角形．根据等边三角形三线合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°；
②作辅助线，证明△PCD'≌△PCQ，可得PA＝PQ；
（2）存在，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△PAD≌△PQC（SAS）．可得结论．
【解答】解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA，连接AD，

∵∠ACM＝60°，
∴△ADC为等边三角形．
∴∠DAC＝60°．
∵C为AB的中点，Q为BC的中点，
∴AC＝BC＝2BQ．
∵BQ＝CP，
∴AC＝BC＝CD＝2CP．
∴AP平分∠DAC．
∴∠PAC＝∠PAD＝30°．
②如下图，将△APD绕点A顺时针旋转60°得△AD'C，连接CD'，

∴∠ACD'＝∠ADP＝60°，AP＝AD'，∠PAD'＝60°，CD'＝PD，
∴△APD'是等边三角形，
∴PD'＝AP，
∵k＝1，
∴BQ＝CP，
∵CD＝AC＝BC，
∴PD＝CQ＝CD'，
∵∠PCQ＝180°﹣∠ACP＝120°，
∠PCD'＝∠ACP+∠ACD'＝120°，
∴∠PCD'＝∠PCQ，
∴△PCD'≌△PCQ（SAS），
∴PD'＝PQ，
∴PA＝PQ；
（2）存在，使得②中的结论成立．
证明：过点P作PC的垂线交AC于点D．

∵∠ACM＝45°，
∴∠PDC＝∠PCD＝45°．
∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°．
∵，，
∴CD＝BQ．
∵AC＝BC，
∴AD＝CQ．
∴△PAD≌△PQC（SAS）．
∴PA＝PQ．
【点评】本题是三角形的综合题，考查三角形全等的性质和判定、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构建等边三角形和三角形全等，难度适中，属于中考常考题型．
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日期：2020/6/19 16:02:52；用户：西安万向思维数学；邮箱：xianwanxiang005@xyh.com；学号：24602080