高考数学(文数)一轮复习课时练习：3.7《正弦定理和余弦定理》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)

A．30°　　　　　　　　 B．45°

C．60°  D．90°

解析：由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.

答案：B

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)

A.  B.

C．2  D．3

解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcos A＝5，整理得3b2－8b－3＝0，

解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.

答案：D

3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)

A．10  B．9

C．8  D．5

解析：化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.

由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据，解方程，得b＝5.

答案：D

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B<csin C，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

解析：根据正弦定理可得a2＋b2<c2.由余弦定理得cos C＝<0，故C是钝角．

即△ABC是钝角三角形．

答案：C

5．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为__________．

解析：由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C.由余弦定理得cos C＝－，∴C＝120°.

答案：120°

6．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.

解析：∵a＝c，∴sin A＝sin C，∵A＝，

∴sin A＝，∴sin C＝，又C必为锐角，∴C＝，B＝，∴b＝c.∴＝1.

答案：1

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为__________．

解析：在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，

所以有解得

答案：8

8．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.

(1)求；

(2)若∠BAC＝60°，求∠B.

解析：(1)由正弦定理得＝，＝.

因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，

所以＝＝.

(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，

所以sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos B＋sin B.

由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝，即∠B＝30°.

9．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.

(1)求A；

(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．

解析：(1)∵asin B＝－bsin，

∴由正弦定理得sin Asin B＝－sin B·sin，则sin A＝－sin，

即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，

∵A∈(0，π)，∴A＝.

(2)∵A＝，∴sin A＝，由S＝bcsin A＝bc＝c2，得b＝c，

∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，

由正弦定理得sin C＝＝.

B组　能力提升练

1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，

所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，

又0<A<π，所以A＝.

答案：C

2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)

A．直角三角形  B．等腰三角形

C．等边三角形  D．钝角三角形

解析：因为＝，由正弦定理得＝，所以sin 2A＝sin 2B.

由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，

所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．故选A.

答案：A

3．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：由题意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，

所以cos B＝＝＝.

答案：D

4．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)

A.  B.

C．－  D．－

解析：设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin ＝c，

则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C.

答案：C

5．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝________.

解析：在△ADC中，由正弦定理得＝⇒＝，

同理，在△BCD中，有＝⇒＝，

又sin∠ADC＝sin∠BDC，sin∠ACD＝sin∠BCD，所以有＝⇒AC＝BC，

由正弦定理得sin B＝sin A，又B＝2A，所以sin B＝2sin Acos A，所以cos A＝.

答案：

6．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.

(1)若a＝b，求cos B；

(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．

解析：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.

又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.

由余弦定理可得cos B＝＝.

(2)由(1)知b2＝2ac.

因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.

故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.

所以△ABC的面积为1.

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.

(1)求角A的值；

(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．

解析：(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，化简得sin A＝，

故A＝或.

(2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝，

所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，

故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.

因为b≥a，所以≤B<，≤B－<，

所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2)．