高中2.2.3 两条直线的位置关系第2课时学案

这是一份高中2.2.3 两条直线的位置关系第2课时学案，共6页。

教材原句
要点一有斜率的两条直线垂直的充要条件
一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，用类似方考察它们的法向量或倾斜角之间的关系，可得l1⊥l2⇔k1k2=-1 .
要点二两条直线垂直的一般形式
设直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0 .
自主思考
1.如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积是否一定为-1？
答案：提示l1，l2也有可能会一条斜率为0，另一条斜率不存在.
2.直线l1:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与l2:Bx-Ay+D=0垂直吗？
答案：提示垂直.
名师点睛
直线垂直条件的应用
（1）过点(x0,y0)且与Ax+By+C=0垂直的直线可表示为B(x-x0)-A(y-y0)=0；
（2）与直线y=kx+b(k≠0)垂直的所有直线可以表示为y=-1kx+m(k≠0)；
（3）与直线Ax+By+C=0垂直的所有直线可以表示为Bx-Ay+m=0 .
互动探究·关键能力
探究点一两直线垂直的判定
精讲精练
例分别判断下列两直线是否垂直.
（1）直线l1经过点A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(-2,4)，Q(2,4)；
（2）直线l1的斜率为13，直线l2与直线2x+3y+1=0平行.
答案：（1）由题意知直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1与l2垂直.
（2）由题意知直线l1的斜率k1=13，直线l2的斜率k2=-23，k1⋅k2=13×(-23)=-29≠-1，所以直线l1与l2不垂直.
变式在本例（2）中，若直线l1，l2的法向量分别是v1(-1,3)，v2=(3,1)，试判断直线l1，l2是否垂直.
答案：因为v1⋅v2=(-1,3)⋅(3,1)=-3+3=0，所以直线l1与l2垂直.
解题感悟
（1）若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0判断.
（2）若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔k1⋅k2=-1判断.
（3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断.
迁移应用
1.下列四组直线中，互相垂直的一组是( )
A.2x+y-1=0与2x-y-1=0
B.2x+y-1=0与x-2y+1=0
C.x+2y-1=0与x-y-1=0
D.x+y=0与x+y-3=0
答案：B
解析：易知两直线垂直应满足斜率之积为-1.A选项，斜率分别为-2和2，故错误；B选项，斜率分别为-2，12，故正确；C选项，斜率分别为-12，1，故错误；D选项，斜率分别为-1，-1，故错误，故选B.
2.设a，b，c分别是△ABC内角所对边的边长，则直线bx-sin By-c=0与sin Ax+ay+sin C=0的位置关系是( )
A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直
答案：C
解析：直线bx-sin By-c=0的斜率为bsin B，直线sin Ax+ay+sin C=0的斜率为sin A-a，△ABC中，∵asin A=bsin B=2R，其中R为三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于=sin A-a×bsin B=-12R×2R=-1，故两直线垂直，故选C.
探究点二根据两直线垂直求参数
精讲精练
例（2021山东潍坊高二期中）已知直线a(a-1)x+y-1=0与直线3x+ay+1=0垂直，则实数a= ( )
A.12B.0或12C.0或23D.23
答案：C
解析：由题意得3a(a-1)+a=0，解得a=0或a=23 .
解题感悟
根据两直线垂直求参数的方法主要利用两直线垂直的充要条件，注意不要和两直线平行的充要条件相混淆.
迁移应用
1.（2020江苏常州北郊高级中学高二期中）已知直线l1:2x+y-3=0，若l2:x-3y+2=0，则a的值为( )
A.-6B.-3C.1D.1或-6
答案：B
解析：∵l1⊥l2，∴2a+3(5+a)=0，解得a=-3 .
2.（2020上海杨浦复旦附中高二期中）“m=1 ”是“直线l1:x+my+6=0和直线l2:x-my+2=0垂直”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由直线l1:x+my+6=0和直线l2:x-my+2=0垂直，
可得1×1+m(-m)=0，即m2=1，解得m=±1，
∴m=1是直线l1:x+my+6=0和直线l2:x-my+2=0垂直的充分不必要条件.
探究点三根据两条直线垂直求直线的方程
精讲精练
例（1）过直线l1：2x+y-3=0与l2：x-3y+2=0的交点，并与l1垂直的直线的方程为( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.x+2y-1=0 D.x+2y+1=0
（2）已知△ABC中，A(1,5)，高BE，CF所在直线的方程分别为x-2y=0，x+5y+10=0，则边BC所在直线的方程是( )
A.x+4y=0 B.5x-y=28
C.3x+5y=0 D.5x-3y=28
答案：（1）B（2）C
解析：（1）由2x+y-3=0,x-3y+2=0,解得x=1,y=1,所以交点为(1,1)，
因为所求直线与l1垂直，所以所求直线的斜率k=-1k1=12，
所以所求直线的方程为y-1=12(x-1)，即x-2y+1=0，故选B.
（2）由题意可知高CF，BE所在直线的斜率分别为-15，12，故边AB和AC所在直线的斜率分别为5，-2，
∴边AB和AC所在直线的方程分别为y-5=5(x-1)，y-5=-2(x-1)，
整理为一般式可得5x-y=0，2x+y-7=0 .
联立5x-y=0,x-2y=0,解得x=0,y=0,即B(0,0)，同理，联立2x+y-7=0,x+5y+10=0,解得x=5,y=-3,即C(5,-3)，
∴边BC所在直线的方程为y=-3-05-0x，即3x+5y=0 .
解题感悟
（1）与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0（m为参数）.
（2）与直线y=kx+m平行的直线方程可设为y=kx+b(b≠m)；与它垂直的直线的方程可设为y=-1kx+n(k≠0) .
迁移应用
1.以A(1,3)，B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )
A.3x-y-8=0
B.3x+y+4=0
C.3x-y+6=0
D.3x+y+2=0
答案：B
解析：由题意可得kAB=1-3-5-1=13，则其垂直平分线的斜率k'=-1kAB=-3，
易知线段AB的中点M的坐标为(-2,2)，
所以垂直平分线的方程是y-2=-3(x+2)，整理为一般式为3x+y+4=0 .故选B.
2.已知点A(2,1)，B(0,5)，则经过原点且垂直于AB的直线方程是( )
A.x-2y=0
B.x+2y=0
C.2x-y=0
D.2x+y=0
答案：A
解析：根据题意得kAB=5-10-2=-2，则所求的直线的斜率k=12，则所求的直线方程为y=12x，即x-2y=0，故选A.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.直线l1:3x+y+1=0和直线l2:2x-6y+1=0的位置关系是( )
A.重合B.垂直C.平行D.相交但不垂直
答案：B
2.若直线(m+1)x+my+1=0与直线(m-1)x+(m+1)y-10=0垂直，则m的值为( )
A.-1B.12 C.-13 D.-1或12
答案：D
3.若直线l过点(-1,2)，且与直线2x-3y+4=0垂直，则l的方程是( )
A.3x+2y-1=0
B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0
D.2x-3y+8=0
答案：A
4.已知在△ABC中，A(2,-1)，B(4,3)，C(3,-2)，则AB边上的高所在直线的方程为 .
答案：x+2y+1=0
素养演练
数学建模——应用直线的垂直解决实际应用问题
1.在路边安装路灯，已知灯柱OA的高为h米，路宽OC为23米，灯杆AB与灯柱OA成120∘角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直，如图.请你建立适当的平面直角坐标系，解决以下问题：
（1）当h=10米，AB=2.5米时，求灯罩轴线BD所在直线的方程；
（2）当h=(11.53-5)米且灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线时，则灯杆AB的长为多少米？
答案：（1）以灯柱底端O点为原点，灯柱OA所在直线为y轴，路宽OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A点的坐标为(0,h)，C点的坐标为(23,0)，
因为灯杆AB与灯柱OA成120∘角，所以AB的倾斜角为30∘，
则B点的坐标为(2.5 cs 30∘,h+2.5 sin 30∘)，即(1.253,h+1.25)．
因为BD⊥AB，所以kBD=-3，当h=10米时，B点的坐标为(1.253,11.25)，
则灯罩轴线BD的方程为y-11.25=-3(x-1.253)，即3x+y-15=0 .
（2）由题意知点D的坐标为(11.5,0).
可求得B(32AB,11.53-5+12AB)，由BD的斜率k=11.53-5+12AB32AB-11.5=-3，解得AB=2.5米，即灯杆AB长为2.5米.
素养探究：本题考查直线垂直的实际应用，解答本题首先建立平面直角坐标系，则可得A，B的坐标及直线AB的斜率，从而可得直线BD的斜率，最后求得直线BD的方程，再利用kBD=-3可求得AB的长，在此过程中体现了数学建模的核心素养.
课标解读
课标要求
素养要求
能根据斜率判定两条直线垂直.
1.数学抽象、逻辑推理——会推导两直线垂直的充要条件.
2.数学运算——能应用两直线垂直解决有关问题.