2020-2021学年3.1.1 函数及其表示方法第2课时导学案

这是一份2020-2021学年3.1.1 函数及其表示方法第2课时导学案，共9页。学案主要包含了函数的表示方法，求函数解析式，分段函数求值等内容，欢迎下载使用。

3.1.1　函数及其表示方法
第2课时

学习目标
1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图像法以及其各自的优缺点.培养数学抽象素养.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.提升逻辑推理、数学运算素养.
自主预习
　　情境与问题
情境一:(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米,设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后,路程为y千米,则y是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫做该函数的解析式.
(2)如图是我国人口出生率变化曲线:

(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01

　　问题　根据初中学过的知识,说出(1)(2)(3)分别是用什么法表示函数的?



知识点一　函数的三种表示方法、函数的定义中,对应关系有哪三种表达形式
1.解析法:在函数y=f(x)中,如果f(x)是用　　　　　　　　　来表示的,这种表示函数的方法称为解析法. 
2.列表法:用　　　　　的形式给出了函数的对应关系,这种表示函数的方法称为列表法. 
3.图像法
(1)函数图像:一般地,将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图像,即F={(x,y)|y=f(x),x∈A}.
(2)图像上点的坐标与函数的关系:如果F是函数y=f(x)的图像,则图像上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数图像F上.
(3)图像法:用函数的　　　　　　表示函数的方法称为图像法. 
(4)作函数图像的方法是　　　　　　　,其步骤是　　　　、　　　　、　　　　. 
情境二:
北京市自2014年5月1日起,居民用水实行阶梯水价:年用水量不超过180 m3的部分,水价为5元/m3;超过180 m3但不超过260 m3的部分,水价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为x m3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出函数f(x)的解析式,并作出函数f(x)的图像.




知识点二　分段函数与常数函数
1.分段函数:如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的　　　方式,则称其为分段函数. 
2.常数函数:值域只有　　　元素的函数,这类函数通常称为常数函数.也就是说,常数函数中所有自变量对应的函数值都相等. 
课前自测
判断.
1.任何一个函数都可以用解析法表示.(　　)
2.任何一个函数都可以用图像法表示.(　　)
3.函数f(x)=2x+1不能用列表法表示.(　　)
4.分段函数是由若干个函数构成的.(　　)
课堂探究
一、函数的表示方法
例1　某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x(x为正整数)与收款金额y之间的函数关系,分别用列表法、图像法、解析法表示出来.





反思感悟:　　　　　　　　　　　　　　　　　　


跟踪训练1　由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于(　　)
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.4 D.5
二、求函数解析式
例2　求下列函数的解析式:
(1)已知二次函数的图像过点(-1,4),(0,1),(1,2),求这个二次函数的解析式;
(2)已知f(x)=x2,求f(x-1).





反思感悟:　　　　　　　　　　　　　　　　　　





跟踪训练2　(1)已知f(x2+2)=x4+4x2,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　. 
(2)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=4x-1,则f(x)=　　　　　　　　　　. 
三、分段函数求值
例3　已知函数f(x)=x+1,x≤-2,x2+2x,-2 试求f(-5),f(-3),ff-52的值.





反思感悟:　　　　　　　　　　　　　　　　　　


跟踪训练3　已知f(x)=x2,-1≤x≤1,1,x>1或x<-1.
(1)求f(2),ff12;
(2)若f(x)=14,求x的值;
(3)若f(x)≥14,求x的取值范围.




课堂练习
1.已知函数f(x)与x的对应值由下表给出,则f(f(3))等于(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1

　　A.1 B.2 C.3 D.4
2.设函数f(x)=-x,x≤0,x2,x>0,若f(a)=4,则实数a等于(　　)
A.-4或-2 B.-4或2
C.-2或4 D.-2或2
3.已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的表达式是(　　)
A.f(x)=x2+6x B.f(x)=x2+8x+7
C.f(x)=x2+2x-3 D.f(x)=x2+6x-10
4.已知二次函数f(x)的图像经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则函数f(x)的解析式为　　　　　. 
核心素养专练
A组:
课本P93练习A第6,7,8题　练习B第7,8,9,10题
B组:
1.已知函数f(x-1)=x2-3,则f(2)的值为(　　)
A.-2 B.6 C.1 D.0
2.函数f(x)=|x-1|的图像是(　　)

3.如果f1x=x1-x,则当x≠0,1时,f(x)等于(　　)
A.1x B.1x-1 C.11-x D.1x-1
　　4.函数f(x)=2x,0≤x≤1,2,1 5.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,求f(x)的解析式.








6.如图所示,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式,并指明这个函数的定义域.





参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1　解:(1)列表法:
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000

　　(2)图像法:
如图所示.

(3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
反思感悟:略
跟踪训练1　答案:B
解析:由题中表格可知f(1)=4,
所以f(f(1))=f(4)=2.
例2　解:(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
则a-b+c=4,c=1,a+b+c=2,
由此可解得a=2,b=-1,c=1,因此所求函数解析式为y=2x2-x+1.
(2)由已知可得f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1.
反思感悟:略
跟踪训练2　(1)答案:f(x)=x2-4(x≥2)
解析:因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2-4,
令t=x2+2(t≥2),则f(t)=t2-4(t≥2),
所以f(x)=x2-4(x≥2).
(2)答案:2x-13或-2x+1
解析:因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0),
则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.
又因为f(f(x))=4x-1,所以a2x+ab+b=4x-1.
所以a2=4,ab+b=-1,解得a=2,b=-13或a=-2,b=1.
所以f(x)=2x-13或f(x)=-2x+1.
例3　解:由-5∈(-∞,-2],-3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2],
所以f(-5)=-5+1=-4,f(-3)=(-3)2+2(-3)=3-23.
f-52=-52+1=-32∈(-2,2),
所以ff-52=f-32=-322+2×-32=-34.
反思感悟:略
跟踪训练3　解:(1)f(2)=1,f12=122=14,
ff12=f14=142=116.
(2)f(x)=14等价于-1≤x≤1,x2=14,①
或x>1或x<-1,1=14,②
解①得x=±12,②的解集为⌀.∴当f(x)=14时,x=±12.
(3)∵f(x)≥14,
∴-1≤x≤1,x2≥14或x>1或x<-1,1≥14.
解得x≥12或x≤-12,
∴x的取值范围是-∞,-12∪12,+∞.
课堂练习
1.答案:A
2.答案:B
3.答案:A
解析:法一　设t=x-1,则x=t+1.
∵f(x-1)=x2+4x-5,
∴f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,
∴f(x)的表达式是f(x)=x2+6x.
法二　∵f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1),
∴f(x)=x2+6x,∴f(x)的表达式是f(x)=x2+6x.
故选A.
4.答案:f(x)=-x2-4x-1
解析:∵f(x)的图像顶点是(-2,3),
∴可设f(x)=a(x+2)2+3(a≠0),
由y=f(x)过点(-3,2),得a=-1,
∴f(x)=-(x+2)2+3=-x2-4x-1.
核心素养专练
A组
略
　　B组
1.答案:B
解析:令t=x-1,则x=t+1,
∴f(t)=(t+1)2-3=t2+2t-2,
∴f(2)=22+2×2-2=6.
2.答案:B
解析:方法一　函数的解析式可化为y=x-1,x≥1,1-x,x<1.
画出此分段函数的图像(略),故选B.
方法二　由f(-1)=2,知图像过点(-1,2),排除A,C,D,故选B.
3.答案:B
解析:令1x=t,则x=1t,代入f1x=x1-x,则有f(t)=1t1-1t=1t-1,
故f(x)=1x-1.故选B.
4.答案:[0,+∞)
解析:定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2,+∞)=[0,+∞).
5.解:因为f(x)+3f(-x)=2x+1,①
所以把①中的x换成-x,得f(-x)+3f(x)=-2x+1.②
由①②解得f(x)=-x+14.
6.解:由题意可知该盒子的底面是边长为(a-2x)的正方形,高为x,
所以此盒子的体积V=(a-2x)2·x=x(a-2x)2,
其中自变量x应满足a-2x>0,x>0,
即0 所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V=x(a-2x)2,定义域为0,a2.

学习目标
1.会求抽象函数的解析式.
2.会求分段函数解析式,并能作出分段函数的图像.
3.会求分段函数的定义域和值域.
自主预习
1.函数的表示方法:
2.分段函数:
3.常数函数:
4.待定系数法:
课堂探究
问题探究
在生活中,我们会经常遇到不同的盛水容器,有台体、柱体、锥体等.对不同的容器,在等速注水时,水的深度h与注水的时间t之间具有不同的函数关系.我们能否根据容器形状判断出函数的大致图像?下面我们一起来进行如下探究:如图所示A,B,C,D四个盛水容器体积相同,高度相同,向四个容器同时以等速注水,注满为止.回答下列问题.

1.向容器C匀速注水时,水的深度h与注水的时间t之间具有什么函数关系?
2.记A,B,C,D四个容器注水容量达到容积的一半时所用的时间分别为t1,t2,t3,t4比较t1,t2,t3,t4的大小关系.
3.当A,B,C,D四个容器注水的深度h达到容器高度的一半时,用时最短的是哪个容器?最长的又是哪个?
4.向容器B均速注水,则水深h与注水时间t的函数图像是(　　)

典型例题
例1　1.已知f(x)=x2.
(1)求f(0),f(1),f(2)的值;
(2)求f(a),f(a-1)的值.



2.已知f(x-1)=x2,求f(x)的解析式.




跟踪练习　课本第94页练习B第7,8题





例2　北京市自2014年5月1日起,居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180 m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180 m3但不超过260 m3的部分,综合用水单价为7m3.如果北京市一居民年用水量为x m3,其中缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出f(x)的解析式,并作出f(x)的图像.




　　跟踪练习　课本第93页练习A第7,8题



例3　设x为任意一个实数,y是不超过x的最大整数.
(1)
x
6.89
5
π
-1.5
-2
y
6





　　(2)判断这种对应关系是否是函数?如果是,作出这个函数的图像;如果不是,请说明理由.




评价反馈
1.已知f(x-1)=x+2x,则函数f(x)的解析式为　　　　　　　. 
2.求狄里克莱函数D(x)=1,x∈Q,0,x∉Q的定义域、值域.能作出这个函数的图像么?




课堂小结
通过本节课的学习,绘制一张思维导图.
要求:你认为的重点、难点、需要注意的地方、规律方法都要画出来.




课后作业
作业1:自学课本第91页　例6、例7
作业2:课本93页　练习B第3,6,9,10题
核心素养专练
(2019河南周口高一联考)设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2 019)=(　　)
　 　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.1 C.2 019 D.2 020
参考答案
课堂探究
问题探究
1.因为容器C是圆柱,所以水的深度h随着注水时间t的增加而均匀上升,属于一次函数关系.
2.因为四个容器的容积相等,它们的一半也相等,注水的速度一样,所以时间一样,即t1=t2=t3=t4.
3.由图知,注水的深度h到达容器高度的一半时,容器A的注水量最小,所以用时最短,容器B的注水量最多,所以用时最长.
4.因为B容器下面宽上面窄,水深的增长先慢后快,故选B.
典型例题
例1　1.(1)f(0)=0;f(1)=1;f(2)=4.
(2)f(a)=a2;f(a-1)=a2-2a+1.
2.f(x)=x2+2x+1.
跟踪练习
7.f(-x)=-2x2-x;f(x+1)=-2x2-3x-1
8.f(4)=3;f(x)=2x-5
例2　f(x)=5x,x∈[0,180],7x-360,x∈(180,260].图像略.
跟踪练习
7.定义域R;值域{-1};图像略.
8.(1)f(x)=1,x<0,2,x≥0,定义域R,值域[1,2],图像略;
(2)f(x)=-1,x<0,0,x=0,1,x>0,定义域R,值域{-1,0,1},图像略.
例3　(1)5　3　-2　-2　(2)是
图像如下:

评价反馈
1.x2+4x+3(x≥-1)
2.定义域R;值域{0,1};不能作出图像
课堂小结
略
课后作业
略
核心素养专练
D