2020-2021学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷（含答案解析）

2020-2021学年吉林省四平市铁西区八年级（下）期中数学试卷

1. 下列各式，计算正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为

A. 2：3：4 B. 3：4：6 C. 4：6：7 D. 7：24：25

3. 设，，用含a、b的式子表示，下列表示正确的是

A. 2a B. 2b C.  D. ab

4. 下列判断错误的是

A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

5. ▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，，则是

A.  B.  C.  D.

6. 正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积

A. 先变大后变小
B. 先变小后变大
C. 一直变大
D. 保持不变
 

7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______.
8. 已知一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边的长为______.
9. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是______.
10. 已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为______.
11. 如图，平移图形M，使其与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是______ .

12. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，请添加一个条件，使得四边形EBFD为平行四边形，则添加的条件是______ 答案不唯一，添加一个即可

13. 如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为，，，则点E的坐标为______.

14. 我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为______ .
15. 
    
    
    
    
    
    
     
16. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
17. 已知实数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简：

18. 已知：，，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 求代数式的值，其中
    如图是小亮和小芳的解答过程．
    
    ______的解法是错误的；
    求代数式的值，其中
    
    
    
    
    
    
     
20. 一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
    
    
    
    
    
    
     
21. 利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
    已知：如图，______；
    求证：______；
    证明：
    
    
    
    
     

22. 如图，，且，E是AC的中点.
    求证：四边形BDEC是平行四边形；
    连接AD、BE，直接写出添加一个什么条件使四边形DBEA是矩形？不需说明理由
    
    
    
    
    
    
     
23. 在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：
    ①
    
    ②③
    以上化简的步骤叫做分母有理化．
    还可以用以下方法化简：④
    请分别参照③式和④式，用不同的方法化简；
    化简：
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点
    求证：四边形ABCD是菱形；
    若，，求CE的长．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线BC以的速度移动，设运动的时间为t秒．
    
    求BC边的长；
    当为直角三角形时，求t的值；
    当为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图所示，在正方形ABCD中，，点O为对角线交点，，连接EF，过点O作交BC边于G，点G始终在BC边上，并且不与点B、点C重合，连接OE、OF、
    求证：；
    请求出的度数？
    试求出的周长；
    若，请直接写出四边形BEOG的面积．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式的运算，掌握合并同类二次根式的法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则是解题的关键．
根据合并同类二次根式的法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则对各个选项进行判断即可．
【解答】
解：与不能合并，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确，
故选：  

2.【答案】D
 

【解析】解：A、因为，所以不能组成直角三角形，故选项错误；
B、因为，所以不能组成直角三角形，故选项错误；
C、因为，所以不能组成直角三角形，故选项错误；
D、因为，所以能组成直角三角形，故选项正确；
故选：
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：，，

故选：
利用积的算术平方根的性质可得，进而用含a、b的式子表示即可．
此题主要考查了积的算术平方根的性质，能够将变形为是解题的关键．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项错误；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如：等腰梯形的对角线相等，故本选项正确；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
故选：
根据正方形、菱形，矩形以及平行四边形的判定定理进行判断．
此题考查了正方形的判定．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的矩形是正方形．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
故选
由平行四边形的性质可知：，进而可得，再根据三角形外角和定理即可求出的度数．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，方法一由相似三角形得出比例线段是解题的关键；方法二由面积关系进行转化是解题的关键．
方法一由∽，根据相似三角形的对应边成比例，可得，即可得矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
方法二连接DE，的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．
【解答】
方法一
解：正方形ABCD和矩形ECFG中，
，，
，
∽，
，
，
矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
方法二
解：连接DE，


矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：  

7.【答案】
 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：
故答案为：
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得出x的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义，被开方数为非负数．
 

8.【答案】5或
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】

解：设第三边为x，
若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
，
；
若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
，
；
第三边的长为5或
故答案为5或
 

9.【答案】15
 

【解析】解：，
的最小值是
故答案是：
把135分解因数即可确定．
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则除法法则解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
 

10.【答案】24
 

【解析】解：，则，
菱形周长为20，则，
菱形对角线互相垂直平分，
，
，，
故菱形的面积
故答案为
菱形对角线互相垂直平分，所以，已知，，即可求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：如图，延长AB交CE于点D，
由平行线的性质，得，
又，

故答案为：

利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可以求得的度数．
此题重点考查平行线的性质及三角形内角和定理，关键是正确地作出辅助线并找到两部分图形中相应的角的关系．
 

12.【答案】
 

【解析】解：四边形ABCD平行四边形，
，，
，
，
，
四边形EBFD为平行四边形．
故答案为：
根据平行四边形的性质可得，，添加，即可得，进而可得结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，C，D三点的坐标为，，，
，，
四边形ABCD是菱形，
，，
四边形AOBE为矩形，
，，，
在第二象限，
点的坐标是，
故答案为：
求出OC、OD的长，根据菱形的性质求出，根据矩形的性质求出，即可得出答案．
本题考查了坐标与图形的性质，矩形的性质和菱形的性质，能求出OA和OB的长是解此题的关键．
 

14.【答案】12
 

【解析】解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，

故答案为：
根据大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得ab的值．
本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
 

15.【答案】解：
 

【解析】先把要求的式子进行化简，再进行合并即可得出答案．
此题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】解：


 

【解析】先化简二次根式，再运算即可．
本题考查二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法运算方法，能准确的化简二次根式是解题的关键．
 

17.【答案】解：由数轴可得：，，，
则原式


 

【解析】直接利用数轴上a，b，c的位置得出，，，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．
 

18.【答案】解：，，
原式，
，
，

 

【解析】首先利用因式分解把化为，然后再代入x、y的值进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的化简计算，关键是正确把进行因式分解．
 

19.【答案】小芳
 

【解析】解：，
，
故小芳开方时，出现错误，
故答案为：小芳；
，
，
，
原式，
即代数式的值是
根据题目中的解答过程，可以得到哪位同学做错了；
根据题目中的式子和a的值，可以求得所求式子的值．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
 

20.【答案】解：如图，根据题意，得
千米，千米，千米．
，
，
，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成，
第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
 

【解析】根据路程=速度时间分别求得OA、OB的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形OAB是直角三角形，从而求解．
此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据条件得出第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成是解题的关键．
 

21.【答案】中，，CO是斜边AB边上的中线 
证明见解析.
 

【解析】已知：中，，CO是斜边AB边上的中线；
求证：；
证明：如图，延长CO至点E，使，连接AE、BE，
，点O为AB中点，
四边形AEBC为平行四边形，
，
平行四边形AEBC是矩形，
，
，
；
故答案为：中，，CO是斜边AB边上的中线；
延长CO至点E，使，连接AE、BE，然后证明四边形AEBC是矩形，再根据矩形的性质可得；
本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识；证明四边形AEBC为矩形是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是AC中点，

，

又，
四边形DBCE是平行四边形．
解：添加，理由如下：
连接AD、BE，如图，

，，
四边形DBEA是平行四边形．
，，

四边形DBEA是矩形．
 

【解析】证出，即可得出结论；
先证四边形DBEA是平行四边形，再证，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．
 

23.【答案】解：参照③式化简
参照④式化简：
原式


 

【解析】通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；
注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．
本题考查了分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
 

24.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
▱ABCD是菱形；
解：四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
菱形ABCD的面积，
，
菱形BCD的面积，

 

【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，由勾股定理求出，则，再由菱形ABCD的面积即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，，
；
由题意知，
①当为直角时，点P与点C重合，，即；
②当为直角时，，，，
在中，，
在中，，
即：，
解得：，
故当为直角三角形时，或；
①当时，，
；
②当时，，则，
；
③当时，，，，
在中，，
，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或
 

【解析】直接根据勾股定理求出BC的长度；
当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的t值即可；
当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
 

26.【答案】证明：点O是正方形对角线交点，
，，
在和中，
，
≌，
，
解：由可知，≌，
，
，
，
，，
垂直平分EF，OG平分，
，
解：垂直平分EF，
，
的周长为，
，
的周长为10，
，
，
，
，
在中，，
，
，
为的角平分线，
为的角平分线，
，
≌，
，，
，
在中，，

 

【解析】利用正方形的性质证明≌，即可求证；
由可知≌，故，进而可得，根据，得到OG平分，进而求解；
因为OG垂直平分EF，故，故的周长为；
用三角形全等≌，可得EG的长度，从而求解．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理综合运用能力是解决问题的关键．