2019北京中考数学解析练习题

这是一份2019北京中考数学解析练习题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年北京市初中毕业、升学考试
数学
（满分100分，考试时间120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（2019北京市，1题，2分）
4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为
A． B．
C． D．

【答案】C
【解析】绝对值大于1的正数用科学记数法表示为，其中n是等于原数的整数位数减1.
∴；故选C.
【知识点】科学记数法——表示较大的数

2．（2019北京市，2题，2分）
下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是

A． B． C． D．

【答案】C
【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.
故选C.
【知识点】图形变换——轴对称图形.

3．（2019北京市，3题，2分）
正十边形的外角和为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据多边形的外角和等于360°易得B正确；故选B.
【知识点】多边形的外角和等于360°.

4．（2019北京市，4题，2分）
在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为
A．-3 B． -2 C． -1 D． 1
【答案】A
【解析】由题意知，点B表示的数是2，由CO=BO，可得点C表示的数为2或-2，
将点C向左平移1个单位长度可得到点A，故点A表示的数为1或-3；
又∵点A，B在原点O的两侧；∴点A表示的数-3.
【知识点】有理数——数轴、分类讨论.

5．（2019北京市，5题，2分）
已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD

【答案】D
【解析】由作图知， ,OM=OC=OD=ON；
A．在⊙中，由得∠COM=∠COD；故选项A正确.
B．由OM=MN，结合OM=ON知△OMN为等边三角形；得∠MON=60°.又由得∠COM=∠COD=∠DON；∴∠AOB=20°.故选项B正确.
C．由题意知OC=OD，∴.
设OC与OD与MN分别交于R，S.易得△MOR≌△NOS （ASA） ∴OR=OS ∴
∴ ∴MN∥CD. 故选项C正确.
D．由得CM=CD=DN=3CD；而由两点之间线段最短得CM+CD+DN>MN，即MNb）；则由图2和图3列得方程组，由加减消元法得，∴菱形的面积.故填12.
【知识点】菱形的性质、二元一次方程组的解法.

15．（2019北京市，15题，2分）
小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，则_______. (填“”，“”或“”)

【答案】=
【解析】数据92，90，94，86，99，85的平均数；
新数据2，0，4，4，9，5的平均数为；
∴；
；
∴.
事实上由“将一组数据中的每个数加上或减去同一个数后，所得的新数据的方差与原数据的方差相同”易得.
【知识点】方差的计算和性质、平均数.

16．（2019北京市，16题，2分）
在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是_______．

【答案】①②③
【思路分析】如图16-1，经矩形ABCD对角线交点O，
① 任画两条和矩形对边分别相交的直线，顺次连接交点得到的四边形为平行四边形，显然有无数个四边形；
②任画两条和矩形对边分别相交且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为矩形，显然有无数个四边形；
③任画两条和矩形对边分别相交且垂直的直线，顺次连接交点得到的四边形为菱形，显然有无数个四边形；
④画两条和矩形对边分别相交，并且垂直且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为正方形，显然只有一个四边形.

【解题过程】如图16-1，O为矩形ABCD对角线的交点，

① 图中任过点O的两条线段PM，QN，则四边形MNPQ是平行四边形；显然有无数个.本结论正确.
② 图中任过点O的两条相等的线段PM，QN，则四边形MNPQ是矩形；显然有无数个.本结论正确.
③ 图中任过点O的两条垂直的线段PM，QN，则四边形MNPQ是菱形；显然有无数个.本结论正确.
④ 图中过点O的两条相等且垂直的线段PM，QN，则四边形MNPQ是正方形；显然有一个.本结论错误.
故填：①② ③.
【知识点】三角形全等的性质和判定、矩形的性质和判定、平行四边形和菱形、正方形的判定.
三、解答题（本大题共12小题，满分68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2019北京市，17题，5分）
计算：
【思路分析】根据，，代入计算即可解答.
【解题过程】解：


=
【知识点】实数的混和运算、绝对值、零指数、负指数、特殊角的函数值.

18．（2019北京市，18题，5分）
解不等式组：
【思路分析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可.
【解题过程】解：
由①得


由②得


①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为.
【知识点】一元一次不等式组的解法.
19．（2019北京市，19题，5分）
关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【思路分析】先由原一元二次方程有实数根得判别式进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.
【解题过程】解：∵关于x的方程有实数根，
∴
∴
又∵m为正整数，
∴m=1，此时方程为解得根为，
∴m=1，此方程的根为
【知识点】一元二次方程根的判别式、

20．（2019北京市，20题，5分）
如图20-1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）如图20-2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．


【思路分析】）（1）由四边形ABCD为菱形易得AB=AD，AC平分∠BAD，结合BE=DF，根据等腰△AEF中的三线合一，证得AC⊥EF.
（2）菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF得BD∥EF.进而有；得出OA的值.
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF
∴
∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形
∵AC平分∠BAD
∴AC⊥EF
（2）解：∵菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF.
∴BD∥EF.
又∵BD=4，tanG=
∴
∴AO==OC=1.
【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质、正切的定义.

21．（2019北京市，21题，5分）
国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

d．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第_______；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“○”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为_______万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是_______．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．


【思路分析】（1）由条形统计图知，创新指数在70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100国家个数分别为12，2，2；共16个，而中国的创新指数为69.5；进而求出中国的国家创新指数的世界排名.
（2）由中国的国家创新指数得分为69.5，结合中国的对应的点位于虚线的上方即可求得．
（3）如图21-1，先画一条过69.5的水平线，该线上方的点都是国家创新指数得分比中国高的国家；然后找除中国以外的，最左边的点进而求出该国的人均国内生产总值.

（4）
【解题过程】（1）解：∵由条形统计图知，创新指数在70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100国家个数分别为12，2，2；共16个，且中国的创新指数为69.5；
∴中国的国家创新指数的世界排名为17.
故填17.
（2）解：由中国的国家创新指数得分为69.5，结合中国的对应的点位于虚线的上方求得. 如下图，

（3）如图21-1，

易求得在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元.故填：2.7.
（4）①②

【知识点】

22．（2019北京市，22题，6分）
在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．


【思路分析】
【解题过程】（1）
∵BD平分
∴

∴AD=CD
（2）直线DE与图形G的公共点个数为1.
【知识点】

23．（2019北京市，23题，6分）
小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组







第2组







第3组







第4组







③每天最多背诵14首，最少背诵4首．

解答下列问题：
（1）填入补全上表；
（2）若，，，则的所有可能取值为_______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为_______首．



【思路分析】
【解题过程】（1）如下图

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组







第2组







第3组







第4组







（2）4，5，6
（3）23

【知识点】

24．（2019北京市，24题，6分）
如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．

小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定_______的长度是自变量，_______的长度和_______的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为_______cm．

【思路分析】（1）三个变量中，分析哪两个变量均随某个变量的变化而变化，哪两个量就是函数.观察表格中的数据，当AD的长度发生变化时，PC，PD也随之变化.
（2）以AD为自变量，分别以PC，PD为函数，画函数图像即可.
（3）找到图象中满足PC=2PD时，对应点的横坐标即可解答.
【解题过程】（1）观察表格中的数据可知：PC，PD都随AD的变化而变化.故AD为自变量，PC，PD均为AD的函数. 故填：AD， PC，PD；
（2）以AD为自变量，分别以PC，PD为函数，画出的函数图像如下图，

（3）观察图象可得，当AD=2.29或者3.98时，有PC=2PD.故填：2.29或者3.98.
【知识点】函数与自变量、画函数图形及应用函数图象.

25．（2019北京市，25题，5分）
在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点．
（1）求直线与轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为．
①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；
②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．
【思路分析】（1）当时，由求得y的值，即得直线 与 轴的交点坐标.
（2）①当时画出图象分析有关区域中整点个数.
②由图象分析解答即可.
【解题过程】（1）当时，由；∴直线与轴的交点坐标为.
（2）①如下图，当k=2时，直线：，把代入直线，则.∴；
把代入直线， ∴， ∴. .
画出函数的图象及直线 ，直线组成的区域，

显然区域中整数点有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；显然区域内的整点个数有6个.
② 由类似①分析图象知区域内没有整点时有或.

【知识点】一次函数的图象与性质

26．（2019北京市，26题，6分）
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

【思路分析】（1）先求出A点的坐标为，由平移规律求得点B的坐标.
（2）由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点进而求出抛物线对称轴方程.
（3）根据a的符号分类讨论分析解答即可.
【解题过程】（1）∵当x=0时，抛物线；
∴抛物线与y轴交点A点的坐标为，
∴由点A向右平移2个单位长度得点B的坐标为；即.
（2）∵由A、B两点的纵坐标相同，得A、B为对称点.∴抛物线对称轴方程为；即直线.
（3）①当时，. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以线段PQ和抛物线没有交点.
②当时，. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点，此时，即.
综上所述：当时，抛物线与线段PQ恰好有一个公共点.
【知识点】二次函数图象及性质、点的坐标平移规律、

27．（2019北京市，27题，7分）
已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．


【思路分析】（1）作∠MPN=180°-∠AOB,用圆规截得PM=PN；可补全图形.
（2）借助△OPM的内角和为180°及∠AOB=30°和∠MPN=150°即可得证，
（3）
【解题过程】（1）见下图

（2）证明：∵
∴在△OPM中，
又∵，
∴
∴.
（3）如下图，过点P作PK⊥OA于K，过点N作NF⊥OB于F

∵∠OMP=∠OPN
∴∠PMK=∠NPF
在△NPF和△PMK中，
∴△NPF≌△PMK （AAS）
∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK
又∵ON=PQ
在Rt△NOF和Rt△PKQ中，
∴Rt△NOF≌Rt△PKQ （HL）
∴KQ=OF
设
∵∠POA=30°，PK⊥OQ
∴
∴
∴，
，
.
∵M与Q关于H对称
∴MH=HQ
∴KQ=KH+HQ
=
=
又∵KQ=OF
∴
∴
∴，即PK=1
又∵
∴OP=2.
【知识点】尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30°锐角的性质、中心对称的性质.

28．（2019北京市，28题，7分）
在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．

（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．
①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

【思路分析】（1）当与BC相切时，△ABC的中内弧最长，结合勾股定理进而求得结果.
（2）①分以下两种情况讨论，Ⅰ、当P为DE的中点时； Ⅱ、当⊙P与AC相切时.
②分以下两种情况讨论，Ⅰ、PE⊥AC时，△EFC∽△PEF；Ⅱ、时.

【解题过程】（1）如下图：当与BC相切时，中内弧最长.


（2）解：①当时，C（2，0），D（0，1），E（1，1）
Ⅰ、如下图， 当P为DE的中点时，是中内弧，∴

Ⅱ、 如下图，当⊙P与AC相切时，.
当时，，∴.

综上所述，P的纵坐标
②中，
Ⅰ、PE⊥AC时，△EFC∽△PEF,
得，即.
∴，
∴
∴.


Ⅱ、∵，
∴，，
∴.
如下图，

，，
∴
∴.
综上所述，
【知识点】弧长公式、三角形相似性质与判定、圆的有关性质、点的坐标.