人教版八年级下册18.2.1 矩形第2课时课后测评

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18.2.1 第2课时 矩形的判定建议用时:45分钟    总分50分一 选择题（每小题3分，共18分）1．（2020 •温州期中）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（　　）A．AC＝BD B．AB＝BC C．∠BAC＝∠CAD D．AC⊥BD【答案】A【解析】A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项A符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D不符合题意；故选：A．2．（2019•江东区月考）已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是（　　）A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC与BD互相平分 D．AC⊥BD【答案】C【解析】∵有一个直角的平行四边形是矩形，∴只要四边形ABCD是平行四边形，即可判定四边形ABCD是矩形，∴添加AC与BD互相平分故选：C．3．（2020 •文水县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，请添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是（　　）A．AC＝CF B．AD＝CF C．∠B＝∠BCF D．DB＝CF【答案】A【解析】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，DEAC，A、当AC＝CF时，不能证明四边形ADFC是平行四边形，∴不能证明四边形ADFC是矩形，故选项A符合题意；B、AD＝CF时，作CG⊥DF于G，如图所示：则CG∥AD，∴四边形ADGC是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ADGC是矩形，∴AD＝CG，∴CG＝CF，∴G与F重合，即四边形ADFC是矩形，故选项B不符合题意；C、当∠B＝∠BCF时，AB∥CF，∴四边形ADFC是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ADFC为矩形；故选项C不符合题意；D、DB＝CF时，∵DB＝AD，∴AD＝CF，可证明四边形ADFC是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．4．（2020•海淀区月考）要判断一个四边形是否为矩形，下面是4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否互相垂直平分 C．测量其中三个内角是否都为直角 D．测量两条对角线是否相等【答案】C【解析】矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，A、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；B、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；C、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；D、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选：C．5．（2019•莆田期末）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【解析】因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形．故选：B．6．（2020 •崆峒区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的外角的平分线，DE∥AB交AE于点E，则四边形ADCE的形状是（　　）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【解析】如图，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠HAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，∵AE是∠HAC的平分线，∴∠HAE＝∠CAE∠HAC，∴∠HAE＝∠ABC，∴AE∥BC，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴AE＝CD，又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AD⊥CD，∴四边形ADCE是矩形，故选：B．二、填空题（每小题3分，共9分）7．（2020 •柘城县期末）如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理　对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角　．【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．【解析】这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角．（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）8．（2019 •江干区期末）已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为　矩形　．【答案】矩形．【解析】四边形ABCD为矩形．理由：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．故答案为：矩形．9．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加　AC⊥BD　条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【答案】AC⊥BD，【解析】∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．三、解答题（7分+8分+8分= 23分）10．（2020 •余干县期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC，∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形，∴CE＝BD，∵CE＝AC，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．11．（2020•东莞市期末）如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，又∵∠GEF＝90°，∴四边形EGCF是矩形．12．（2020 •茌平县期末）如图，在△ABC中，O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F．（1）求证：EO＝OF；（2）连接AE，AF，当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？此时，点O在什么位置？说明理由（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴EO＝FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．