冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀一课一练

八年级数学下册第二十二章四边形章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，y是x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a值为（　　）

A．3 B．4 C．14 D．18

2、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(       )

A．测量对角线是否互相平分 B．测量一组对角是否都为直角

C．测量对角线长是否相等 D．测量3个角是否为直角

3、下列说法错误的是（       ）

A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角

C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴

4、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

5、如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（       ）

A．4 B．6 C．8 D．12

6、六边形对角线的条数共有（       ）

A．9 B．18 C．27 D．54

7、下列说法正确的是（　　）

A．只有正多边形的外角和为360°

B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等

C．等腰三角形有两条对称轴

D．如果两个三角形一模一样，那么它们形成了轴对称图形

8、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（       ）

A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD

9、平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠C的度数为（　　）

A．120° B．60° C．30° D．15°

10、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（     ）

A．80° B．90° C．100° D．110°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平行四边形ABCD中，

（1）若∠A＝130°，则∠B＝______ 、∠C＝______ 、∠D＝______．

（2）若∠A＋ ∠C＝ 200°，则∠A＝______ 、∠B＝______；

（3）若∠A：∠B＝ 5：4，则∠C＝______ 、∠D＝______．

2、如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将AB边沿AE折叠到AF．延长EF交DC于G，点G恰为CD边中点，连接AG，CF，AC．若AB＝6，则△AFC的面积为_______．

3、在菱形中，，其所对的对角线长为2，则菱形的面积是__．

4、已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是________边形．

5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在矩形ABCD中，

(1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作对角线BD的垂直平分线EF分别交AD、BC于E、F点，交BD于O点．

(2)在（1）的条件下，求证：AE=CF．

2、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；

(2)若，，，求DF的长．

3、如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．E是BC上的点，AE=AD．

(1)在线段CD上作一点F，连接EF，使得∠EFC＝∠BEA(请用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)；

(2)在（1）作出的图形中，若AB＝4，AD＝5，求DF的值．

4、在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，，，如图所示．

(1)若，则点，，的坐标分别是（　　），（　　），（　　）；

(2)若△是以为底的等腰三角形，

①直接写出的值；

②若直线与△有公共点，求的取值范围．

(3)若直线与△有公共点，求的取值范围．

5、【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．

(1)请证明“射影定理”中的结论③．

(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．

①求证：．

②若，求的长．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通过解直角三角形，求出△CBD高，进而求解．

【详解】

解：由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，

过点B作BH⊥DC于点H，

设CH=x，则DH=8-x，

则BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2，

解得：

则：，

则，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

2、D

【解析】

【分析】

矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．

【详解】

解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；

B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；

C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；

D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．

【详解】

解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；

B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；

D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

由正方形1性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题．

【详解】

解：设大正方形的边长为，

大正方形的面积是18，

，

，

，

，

，

小正方形的面积，

故选：A．

【点睛】

本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出．

5、B

【解析】

【分析】

根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．

【详解】

解：四边形为菱形，

，，，

，

,

∴,

∴,

∴

故选：．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．

6、A

【解析】

【分析】

n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数），由此可得出答案．

【详解】

解：六边形的对角线的条数= =9．

故选：A．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）．

7、B

【解析】

【分析】

选项A根据多边形的外角和定义判断即可；选项B根据三角形全等的判定方法判断即可；选项C根据轴对称图形的定义判断即可；选项D根据轴对称的性质判断即可．

【详解】

解：A．所有多边形的外角和为，故本选项不合题意；

B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项符合题意；

C．等腰三角形有1条对称轴，故本选项不合题意；

D．如果两个三角形一模一样，那么它们不一定形成轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了多边形的外角和，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．

8、B

【解析】

略

9、A

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质得出BCAD，根据平行线的性质推出∠A＋∠B＝180°，代入求出即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BCAD，

∴∠A＋∠B＝180°，

把∠A＝2∠B代入得：3∠B＝180°，

∴∠B＝60°，

∴∠C＝120°

故选：A．

【点睛】

本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A＋∠B＝180°是解此题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．

【详解】

解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，

又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，

∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．

故选B．

【点睛】

此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．

二、填空题

1、     50°     130°     50°     100°     80°     100°     80°

【解析】

略

2、3.6##

【解析】

【分析】

首先通过HL证明Rt△ABE≌Rt△AFB，得BE＝EF，同理可得：DG＝FG，设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3＋x，在Rt△CEG中，利用勾股定理列方程求出BE＝2，S△AFC＝S△AEC﹣S△AEF﹣S△EFC代入计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，

∵将AB边沿AE折叠到AF，

∴AB＝AF，∠B＝∠AFB＝90°，

在Rt△ABE和Rt△AFB中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△AFB（HL），

∴BE＝EF，

同理可得：DG＝FG，

∵点G恰为CD边中点，

∴DG＝FG＝3，

设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3＋x，

在Rt△CEG中，由勾股定理得：

（x＋3）2＝32＋（6﹣x）2，

解得x＝2，

∴BE＝EF＝2，CE＝4，

∴S△CEG＝×4×3＝6，

∵EF∶FG＝2∶3，

∴S△EFC＝×6＝，

∴S△AFC＝S△AEC﹣S△AEF﹣S△EFC

＝×4×6﹣×2×6﹣

＝12﹣6﹣

＝3.6．

故答案为：3.6．

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，根据勾股定理求得BE的长是解题的关键．

3、

【解析】

【分析】

根据菱形的性质证得△ABD是等边三角形，得到OB，利用勾股定理求出OA，由菱形的性质求出菱形的面积．

【详解】

解：如图所示：

在菱形中，，其所对的对角线长为2，

，，，，

是等边三角形，

则，

故，

则，故，

则菱形的面积．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．

4、八##8

【解析】

【分析】

n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【详解】

解：根据n边形的内角和公式，得

（n-2）•180=1080，

解得n=8．

∴这个多边形的边数是8．

故答案为：八．

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．

5、4

【解析】

【分析】

四边形是平行四边形，可得，由，可知，由可知在中勾股定理求解的值，进而求解的值．

【详解】

解：∵四边形是平行四边形

∴

∵

∴

∵

∴

∴设

则

解得：

则

故

故答案为：4．

【点睛】

本题考查了勾股定理，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于正确的求解．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）利用尺规作出图形即可．

（2）利用全等三角形的性质证明即可．

(1)

解：如图，直线EF即为所求作．

．

(2)

证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADB=∠DBC，

∵EF为BD的垂直平分线，

∴∠EOD=∠FOB=90°，OB=OD，

在△EOD与△FOB中，

，

∴△EOD≌△FOB（ASA），

∴ED=BF，

∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF．

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

2、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；

（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．

(1)

∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，

∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴AD＝EF，

∵AD∥EF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴四边形AEFD为矩形．

(2)

∵四边形AEFD为矩形，

∴AF＝DE＝4，DF=AE，

∵，，，

∴AB2+AF2＝BF2，

∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，

∴，

∴AE=，

∴．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

3、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求，理由：可先证明△AEF≌△ADF，可得∠AEF=∠D=90°，从而得到∠DAE+∠DFE=180°，进而得到∠EFC=∠DAE，再由AD∥BC，即可求解；

（2）根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，从而得到BE＝3，进而得到EC＝2，然后在 中，由勾股定理，即可求解．

(1)

解：如图，作∠DAE的角平分线，与DC的交点即为所求．

∵AE=AD，∠EAF=∠DAF，AF=AF，

∴△AEF≌△ADF，

∴∠AEF=∠D=90°，

∴∠DAE+∠DFE=180°，

∵∠EFC+∠DFE=180°，

∴∠EFC=∠DAE，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE，

∴∠EFC＝∠BEA；

(2)

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，

∵AE＝AD＝5，

∴BE＝＝＝3，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，

由（1）得：△AEF≌△ADF，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．

4、 (1)-3，3，1，3，-3，-1

(2)①-2；②

(3)或

【解析】

【分析】

（1）分别以、、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；

（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角形△的中位线，求出，即可得的值；

②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；

（3）由题意用表示出点，，的坐标，画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．

(1)

解：，，

，轴．

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向左平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

，，

将向右平移2个单位长度可得，即；

以为对角线时，

四边形是平行四边形，

对角线的中点与的中点重合，

的中点为，，

．

故答案为：，，；

(2)

解：①如图，若△是以为底的等腰三角形，

四边形，，是平行四边形，

，，，

、、在同一直线上，、、在同一直线上，，

是等腰三角形△的中位线，

，，

，，，

，

；

②由①得，

，．

当直线过点时，，解得：，

当直线过点时，，解得：，

的取值范围为；

(3)

解：如图，，，，

，．

连接、交于点，

四边形是平行四边形，

点、关于点对称，

，

直线与△有公共点，

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

当直线与△交于点，，解得：，

时，直线与△有公共点；

综上，的取值范围为或．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．

5、 (1)见解析；

(2)①见解析；②．

【解析】

【分析】

（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；

（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；

②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．

(1)

证明：

(2)

①四边形ABCD是正方形

②在中，

在，

．

【点睛】

本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．