初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试练习题

九年级数学下册第三十章二次函数专项训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）

A． B．

C． D．

2、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0：③9a＋3b＋c＜2；④3a＋c＜0；⑤若（﹣，y1），（﹣，y2），（4，y3）是抛物线上的点，则y3＜y1＜y2，其中正确结论的个数是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3、已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

4、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

5、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）

A．或6 B．或6 C．或6 D．或

6、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）

A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4

7、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

8、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）

A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0

C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0

10、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ）

A．14 B．11 C．6 D．3

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．

2、如果抛物线经过点A（3，6）和点B（﹣1，6），那么这条抛物线的对称轴是直线_____．

3、抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为______

4、如图边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，A1、A2、A3、...、An﹣1为OA的n等分点，B1、B2、B3、...、Bn﹣1为CB的n等分点，连接A1B1、A2B2、A3B3、...、An﹣1Bn﹣1，分别交于点C1、C2、C3、...、Cn﹣1.当B25C25＝8C25A25时，则n＝_____．

5、若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；

(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2、红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y元．

(1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？最大利润是多少万元？

(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，则每月的销售量最多应为多少万件？

3、如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（）．

(1)求y与x的函数关系式；

(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积最大值；

4、已知抛物线经过，且顶点在y轴上．

(1)求抛物线解析式；

(2)直线与抛物线交于A，B两点．

①点P在抛物线上，当，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值；

②设直线交x轴于点，线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当，时，求点N纵坐标n的取值范围．

5、小君根据学习经验对函数y=|ax2+bx+c|进行了探究．

(1)写出该函数自变量的取值范围　　　　；

(2)下列表示y与x的几组对应值．

则m=　　　　；

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上对各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

(4)请根据图象，写出：

①当0≤x≤4时，y的最大值是　　　　；

②当z＜x＜z+1时，y随x的增大而增大，则z的取值范围是　　　　．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．

【详解】

解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为

再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

2、B

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点即可判断②；根据函数的对称性和增减性即可判断③；根据抛物线的对称轴为直线x=1，得出b=-2a，由x=-1时，y=a-b+c＜0，即可得出3a+c＜0，即可判断④；根据二次函数的性质即可判断⑤．

【详解】

解：∵对称轴是直线x=1，且经过点（0，2），

∴左同右异ab＜0，c＞0，

∴abc＜0，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2-4ac＞0，所以②正确；

∵抛物线对称轴是直线x=1，

∴x=-1与x=3的函数值一样，x=0与x=2的函数值都是2，

∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大，

∴9a+3b+c＜2，所以③正确；

∵对称轴为x=1，

∴=1，即b=-2a，

∵x=-1时，y=a-b+c＞0，

∴3a+c＞0，所以④错误；

∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大，

∵点（4，y3）关于直线x=1的对称点为（-2，y3），且，

∴y1＜y3＜y2，所以⑤不正确；

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与x轴的交点与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．

3、A

【解析】

【分析】

分别求出、、的大小，再进行判断即可．

【详解】

解：

A、故选项正确，符合题意；

B、故选项错误，不符合题意；

C、故选项错误，不符合题意；

D、故选项错误，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的大小比较问题，解题的关键是掌握二次函数的性质、利用代入法求出、、的大小．

4、D

【解析】

【分析】

由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.

【详解】

解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，

其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），

所以可设交点式y=（x-m）（x-n），

分别代入，，

∴

∵0＜m＜n＜3，

∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，

∵m＜n，

∴ab不能取16 ，

∴0＜ab＜16 ，

故选D

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.

5、C

【解析】

【分析】

表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：∵y=-x2+mx，

∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，

①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，

∴-(-2)2-2m=5，

解得：m=-；

②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，

∴-12+m=5，

解得：m=6．

③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，

∴-()2+m•=5

解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），

综上所述，m=-或6，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．

6、A

【解析】

【分析】

直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．

【详解】

解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．

7、C

【解析】

【分析】

先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可．

【详解】

解：抛物线的对称轴为：直线，

∵，

当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口．

8、C

【解析】

【分析】

利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.

【详解】

解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），

抛物线的对称轴为： 故①符合题意；

当时，

所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；

当时，抛物线的开口向上，如图，

则关于的对称点为： 而

故③符合题意；

当时，抛物线的开口向下，如图，

同理可得：由

则或 故④符合题意，

综上：符合题意的有：①③④

故选：C

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.

9、B

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．

【详解】

解：∵抛物线的开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∵抛物线与x轴有一个交点，

∴Δ=0，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．

10、B

【解析】

【分析】

首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．

【详解】

解：，

抛物线顶点的坐标为，

，

点的横坐标为，

把代入，得到，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．

二、填空题

1、2

【解析】

【分析】

首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．

【详解】

解：∵

∴，代入得：

∴抛物线的顶点坐标为

∵当时，即，

解得：，

∴抛物线与x轴两个交点坐标为和

∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，

∴，即

解得：．

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．

2、

【解析】

【分析】

根据点，的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．

【详解】

解：抛物线经过点和点，

抛物线的对称轴为直线．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴．

3、

【解析】

【分析】

根据顶点坐标公式求得横坐标等于2，即可求得的值，进而求得顶点坐标．

【详解】

抛物线的对称轴是直线

即抛物线解析式为

当时，

它的顶点坐标为

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求得的值是解题的关键．

4、75

【解析】

【分析】

根据题意表示出OA25，B25A25的长，由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标，代入解析式计算得到答案．

【详解】

解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2，…，An-1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn-1为CB的n等分点，

∴OA25= •n=25，A25B25=n，

∵B25C25=8C25A25，

∴C25（25，），

∵点C25在上，

∴，

解得n=75．

故答案为：75．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质，根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键．

5、＜

【解析】

【分析】

根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系．

【详解】

解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，，开口向上，对称轴为

又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)

(2)当时，有最大值，此时点的坐标为

(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；

（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；

（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．

(1)

解：抛物线经过点，，，

，解得．

抛物线的解析式为：；

(2)

如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．

设直线的解析式为，由题意，得

，解得，

直线的解析式为：．

设点坐标为，则点的坐标为，

．

，

，

当时，有最大值，此时点的坐标为；

(3)

解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：

，

顶点的坐标为，

，

．

设点的坐标为，分三种情况进行讨论：

①当为直角顶点时，如图3①，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

②当为直角顶点时，如图3②，

由勾股定理，得，

即，

解得，

所以点的坐标为；

③当为直角顶点时，如图3③，

由勾股定理，得，

即，

解得或，

所以点的坐标为或；

综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．

2、 (1)（）；

(2)销售单价为57元时，最大利润为2890万元；

(3)240

【解析】

【分析】

（1）用300减去减少的数量即可得到函数解析式，根据利润率不能超过50%求出自变量的取值范围；

（2）根据利润率公式得出函数解析式，由函数的性质得到最值；

（3）当w=2400时，解方程，求出解，得到使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，， 根据一次函数的性质求出销售量的最大值．

(1)

解： ，

∵，

∴，

∴（）；

(2)

解：，

当x<57时，w随x的增大而增大，

而，

∴当x=57即销售单价为57元时，w有最大值，最大利润为2890万元；

(3)

解：当w=2400时，，

解得，

∴使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，，

∵，y随着x的增大而减小，

∴当x=50时，销售量最多，最多销售量为万件，

∴每月的销售量最多应为240万件．

【点睛】

此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的知识点及一次函数的知识点是解题的关键．

3、 (1)y＝﹣2x2＋18x

(2)m2

【解析】

【分析】

（1）设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，根据矩形的面积公式求解即可；

（2）根据顶点坐标公式计算即可求解

(1)

设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x（m），矩形苗圃ABCD面积为y（），则，

根据题意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2＋18x；

(2)

二次函数y＝﹣2x2＋18x（0＜x＜9），

∵a＝﹣2＜0，

∴二次函数图象开口向下，

且当x＝﹣＝时，y取得最大值，

最大值为y＝×（18﹣2×）＝（m2）；

【点睛】

本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出是解题的关键．

4、 (1)

(2)①c的值为-1，②

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线经过，且顶点在y轴上，待定系数法求解析式即可；

（2）①根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质可得，根据在抛物线上，代入求解即可，根据图形取舍即可；②设，．把代入中，得，根与系数的关系可得，由勾股定理得，，根据垂直平分线的性质可得，化简可得，进而可得当时，n随k的增大而减小，由可得，进而求得的取值范围

(1)

∵抛物线经过，且顶点在y轴上，

，解得

∴抛物线解析式为.

(2)

①依题意得：当时，轴，

与∠PBA都不可能为90°，

∴只能是，，∴点P在AB的对称轴（y轴）上，

∴点P为抛物线的顶点，即．

不妨设点A在点B的左侧，直线与y轴交于点C．

，，

，

，，

，

，

∴点

把代入中，得：

解得：，（不合题意，舍去）．

∴c的值为-1．

②设，．

把代入中，得，

，由根与系数的关系可得，．

由勾股定理得，

∵点N在AB的垂直平分线上，

，

，

，

化简得．

∵直线与x轴相交，∴点A，B不关于y轴对称，

，

又，

，

，即，

.

将代入，得，

.

由反比例函数的性质，可知：当时，．

在二次函数中，

，对称轴为直线，

∴当时，n随k的增大而减小，

，

.

【点睛】

本题考查了二次函数、一次函数图象与性质，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．

5、 (1)全体实数；

(2)0；

(3)答案见解析；

(4)①4；②z≥4或0≤z≤1

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式为整式，即可得函数自变量的取值范围；

（2）观察表格知，函数关于直线x=2对称，从而由对称性即可求得m的值；

（3）用光滑的曲线顺次连接各点即得函数图象；

（4）①根据图象即可求得y的最大值；

②观察图象即可求得z的取值范围．

(1)

（1）函数y=|ax2+bx+c|的自变量的取值范围为全体实数．

故答案为：全体实数．

(2)

观察表格可知，函数关于直线x=2对称，与x轴交于（0，0）和（4，0），∴x=4时，m=0．

故答案为：0．

(3)

函数图象如图所示：

(4)

①观察图象可知，当0≤x≤4时，y的最大值是4．

故答案为：4．

②观察图象可知，当z≥4或0≤z≤1时，y随x的增大而增大．

故答案为：z≥4或0≤z≤1．

【点睛】

本题考查了函数及其图象、二次函数的图象与性质，关键是观察表格，数形结合．