人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念精品课时练习

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7.1复数的概念
拓展练习

1. （2021高一下·顺德期末）已知复数 (i−1)z=i ，则 z 在复平面内对应的点所在的象限为（    ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

2. （2021高二下·河南期末）已知 i 为虚数单位，则 |1+2(1−i)1+i|= （    ）
A.25
B.5
C.5
D.3

3. （2021高二下·怀化期末）复数 i(1−i) 的虚部为（    ）
A. 2                                          B. 1                                          C. 0                                          D. -1

4. （2021·江西模拟）复数 z 满足： z(1+i)=|1−i| ，则复数 z 的实部是（    ）
A. -1                                       B. 1                                       C. −22                                       D. 22

5. （2021高二下·揭阳期末）设复数 i-21+i =a+bi(a,b∈R),则a+b=(　　)
A.1
B.2
C.-1
D.-2

6. （2021高一下·聊城期末）若复数 z=a−i1+i(a∈R) 在复平面内对应的点在虚轴上．则 a= （    ）
A.1
B.0
C.-1
D.-2

7. （2021高三上·日照开学考）若复数 z 满足 |z−2−3i|=5 ，则复数 z 的共轭复数不可能为（    ）
A. 5−7i                                B. −2−6i                                C. 5+2i                                D. 2−8i

8. （2021·肥城模拟）已知复数 z= cosθ+isinθ （ i 为虚数单位），则 |z−2i| 的最大值为（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

9. （2021·许昌模拟）已知复数 z 满足 |2+1i|=z(1+i) ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内所对应的点在（    ）
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限

10. （2021·南平模拟）复数 z 满足 zz=i ，则复平面上表示复数 z 的点位于（   ）
A. 第一或第三象限                         B. 第二或第四象限                         C. 实轴                         D. 虚轴

11. （2021高三上·辽宁月考）欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ(θ∈R) 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特别是当 θ=π 时，得到一个令人着迷的优美恒等式: eiπ+1=0, 这个恒等式将数学中五个重要的数:自然对数的底数 e, 圆周率 π ，虚数单位 i, 自然数单位 1 和 0 完美地结合在一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式， ei5π4 在复平面内对应的点位于（    ）
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限

12. （2021·安徽模拟）复数 z=(3−i)(1+i)3 ，则 |z|= （　　）
A.    42
B.4
C.23
D.22

13. （2020高三上·常州期末）当复数 (1−ai1+ai)2021=i 时，实数 a 的值可以为（    ）
A. 0                                          B. 1                                          C. -1                                          D. ±1

14. （2021·千阳模拟）复数 z=2+(3−a)i(a∈R) 在复平面内对应的点位于第四象限，且 z⋅z=20 ，则 z= （    ）
A. 2−3i                                  B. 2+3i                                  C. 2−4i                                  D. 2+4i

15. （2021高二下·赣州期末）已知复数 z=a+bi 可以写成 z=|z|(cosθ+isinθ) ，这种形式称为复数的三角式，其中 θ 叫复数z的辐角， θ∈[0,2π) ．若复数 z=1+3i ，其共扼复数为 z ，则下列说法①复数z的虚部为 3i ；② |z|2=|z|2=z2 ；③z与 z 在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为 π3 ；其中正确的命题个数为（    ）
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

16. （2020高三上·湖北期末）已知复数 z1 和 z2 满足 |z1−8−14i|=5|z1−4−6i| ， |z1−z2|=3 ，则 |z2| 的取值范围为（    ）
A. [0,13]                                  B. [3,9]                                  C. [0,10]                                  D. [3,13]

17. （2021高一下·湖南期末）已知 z=2−i （ i 是虚数单位），在复平面上， z(z+i) 对应的点在第      象限.

18. （2021高一下·宁德期末）已知 z=1+2i1−2i ，则 |z|=        ．

19. （2020高三上·宁波期末）若复数 z 满足 (1−2i)z=10 （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为________， |z|= ________

20. （2021高一下·安庆期末）已知复数 z=45−sinθ+(cosθ−35)i 为纯虚数（其中 i 为虚数单位），则 tanθ=       .

21. （2021高一下·无锡期末）设 m 为实数，复数 m(3+i)−(2+i) 在复平面内所对应的点位于第四象限，则 m 的取值范围为       ．

22. （2021·黄浦模拟）已知 (1x−x)9 的二项展开式中的常数项的值是 a ，若 3i⋅z+a−6i=72+3i (其中 i 是虚数单位)，则复数 z 的模 |z|=       .(结果用数值表示)

23. （2020高二上·上海期末）若复数 z1 ， z2 满足 |z1|=|z2|=3 ， |z1+z2|=32 ，则 |2z1−z2| 的值是________.

24. （2021·黄浦模拟）设复数 z=|cosαisinα2+i| （i为虚数单位），若 |z|=2 ，则 tan2α=       .

25. （2021高一下·马鞍山期末）已知复数 z 满足 |z|=2 ，则 |z−3−4i| 的最小值为       ．

26. （2021高一下·宁波期末）设 z∈C ，若 |z|=2 ，则 |z+i| 的最大值为       ．

27. （2021高一下·丽水期末）已知复数 z 满足 |z−3+4i|=2 ，则 |z| 的最大值是       ．

28. （2021高一下·高要月考）已知复数 ω ，且 |ω|=1 ，则 |ω−2i| (i是虚数单位) 的最大值是       ．

29. （2021高一下·普宁期末）已知复数 z=2sinθ+(cosθ−12)i ，其中 i 为虚数单位， θ 为实数，当 |z| 取得最大值时， |z(1+i)|=        ．

30. （2021高二下·嘉兴期末）设复数 z=a+bi （ a,b∈R ）满足 z=i2+i （ i 是虚数单位），则 ab=        ， |z|=       .

31. （2021高三上·包头开学考）设复数 z1 ， z2 满足 |z1|=|z2|=2 ， z1+z2=1+3i ，则 |z1−z2|=       

32. （2021高一下·普宁期末）复平面内有A、B、C三点，点A对应复数是3＋i，向量 AC 对应复数是－2－4i，向量 BC 表示的复数是－4－i，求B点对应复数．

33. （2021高一下·延寿月考）已知复数 z=(m2−5m+6)+(m−2)i （ m∈R ）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．

34. （2021高一下·平潭月考）已知复数 z=(m2−3m+2)+(m2−4m+3)i,m∈R .
（1）若 z 对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
（2）若 z 是纯虚数，求m的值.


练习答案

1. 【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】依题意， z=ii−1=i(1+i)(i−1)(1+i)=−1+i−2=12−i2 ，对应坐标为 (12,−12) ，在第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再根据复数的几何意义，即可得出答案。
2. 【答案】 C
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】 |1+2(1−i)1+i|=|1+(1−i)2|=|1−2i|=5 。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则和求模公式，从而求出|1+2(1−i)1+i|的值。
3. 【答案】 B
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】因为 i(1−i)=1+i ，故复数的虚部为1。
故答案为：B
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数的虚部的定义，从而求出复数z的虚部。
4. 【答案】 D
【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件
【解析】 z(1+i)=|1−i|⇒z(1+i)=2⇒z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=22−22i ， 所以实部是 22。
故答案为：D
【分析】利用复数的乘除法运算法则结合复数的模求解公式，进而求出复数z，再利用复数z的实部的定义，进而求出复数z的实部。
5. 【答案】 A
【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算
【解析】∵ i-21+i =- 12+32 i=a+bi,
∴a=- 12 ,b= 32 ，
∴a+b=1。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数相等的判断方法，进而求出a,b的值，从而求出a+b的值。
6. 【答案】 A
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】 ∵z=a−i1+i=(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−12−a+12i ，所以复数 z 在复平面内对应点的坐标为 (a−12,−a+12) ，由题意可得 a−12=0 ，解得 a=1 。
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再结合复数 z=a−i1+i(a∈R) 在复平面内对应的点在虚轴上，从而求出a的值。
7. 【答案】 C
【考点】复数求模
【解析】设复数 z 的共轭复数为 z=a+bi(a,b∈R) ，则 z=a−bi ，所以由 |z−2−3i|=5 可得 (a−2)2+(b+3)2=25 ．当 a=5,b=2 时，显然不满足上式，其它选项检验可知都符合．
故答案为：C．
【分析】设复数 z 的共轭复数为 z=a+bi(a,b∈R) ， 然后利用模的计算
求出(a−2)2+(b+3)2=25利用共轭复数的定义结合上式，对选项中的复数进行一一验证即可.
8. 【答案】 C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模，两点间距离公式的应用
【解析】 |z−2i| 的几何意义为 (cosθ,sinθ) 与 (0,2) 两点间的距离，且 (cosθ,sinθ) 在单位圆上，
所以| z−2i |的最大值为3。
故答案为：C
【分析】利用复数的模的几何意义得出 |z−2i| 为 (cosθ,sinθ) 与 (0,2) 两点间的距离，且 (cosθ,sinθ) 在单位圆上，从而结合过圆心上的点到已知点距离的最大或最小的性质，进而求出 |z−2i| 的最大值 。
9. 【答案】 D
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】令 z=a+bi ， a,b∈R ，则 z(1+i)=(a+bi)(1+i)=a−b+(a+b)i ，
又 2+1i=2−i ，则 |2+1i|=5 ，
∴ a−b+(a+b)i =5 ，即 {a−b=5>0a+b=0 ，
∴ a>0>b ，则复数 z 在复平面内所对应的点在第四象限.
故答案为：D
【分析】根据复数相等可得a>0>b ， 进而得出复数 z 在复平面内所对应的点所在的象限。
10. 【答案】 B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】设复数 z=a+bi(a,b∈R) ，则 z=a−bi(a,b∈R) ，
因为 zz=i ，
所以 a−bia+bi=i ，即 a−bi=−b+ai ，
所以 a=-b，
所以在复平面上表示复数 z 的点位于第二或第四象限，
故答案为：B
【分析】 利用复数的除法的运算法则化简复数，求出对应点的坐标即可．
11. 【答案】 C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，运用诱导公式化简求值
【解析】 ei5π4=cos5π4+isin5π4=−22−22i ，则在复平面对应的点的坐标为 (−22,−22) ，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】运用三角函数诱导公式代入求值，然后结合复数的代数表示法确定其坐标，即可确定其位于第几象限。
12. 【答案】 A
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】解：由题意得 z=(3−i)(1+i)3=(3−i)(1+i)(1+i)2=2i3+1+3−1i=2−23+23+1i ，
则z=2−232+23+12=42.
故答案为：A
【分析】根据复数的运算，以及复数的求模公式求解即可.
13. 【答案】 C
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】当 a=0 时， (1−ai1+ai)2021=1≠i ，所以 a=0 不满足，A不正确.
当 a=1 时， 1−ai1+ai=1−i1+i=−i ,所以 (1−ai1+ai)2021=(−i)2021=−i≠i ，B不正确.
当 a=−1 时， 1−ai1+ai=1+i1−i=i , (1−ai1+ai)2021=i2021=i ，满足，C符合题意.
由上可知，D不正确.
故答案为：C
【分析】对各个选项逐一进行分析判断，即可得到答案。
14. 【答案】 D
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】解：由题意得3-a3，
又由z·z=2+3−ai·2−3−ai=4+3−a2=20得a=7或a=-1，所以z=2-4i
则z=2+4i
故答案为：D
【分析】根据共轭复数的定义，结合复数的运算，以及复数的几何意义求解即可
15. 【答案】 B
【考点】虚数单位i及其性质，复数求模
【解析】解：对于①，复数 z=1+3i 的虚部为 3 ，所以①错误；
对于②，因为 z=1+3i ，所以 z=1−3i ，所以 |z|2=|z|2=2 ， z2=(1+3i)2=1+23i+(3i)2=−2+23i ，所以 |z|2=|z|2≠z2 ，所以②错误；
对于③， z=1+3i 和 z=1−3i 在复平面对应的点分别为 (1,3),(1,−3) ，两点关于实轴对称，所以③正确；
对于④， z=1+3i =2(12+32i) =2(cosπ3+isinπ3) ，所以复数z的辐角为 π3 ，所以④正确，
故答案为：B
【分析】根据复数的三角式定义，逐项进行判断，即可得出答案。
16. 【答案】 D
【考点】复数求模
【解析】设 z1=x+yi,x,y∈R ，
则 |z1−8−14i|=5|z1−4−6i| 表示点 (x,y) 到点 (8,14) 的距离是到点 (4,6) 距离的 5 倍.
则 (x−8)2+(y−14)2=5(x−4)2+(y−6)2 ，
化简得： (x−3)2+(y−4)2=25 ，
即复数 z1 在复平面对应得点为以 (3,4) 为圆心，5为半径的圆上的点.
设 z2=m+ni,m,n∈R ，因为 |z1−z2|=3 ，所以点 (x,y) 和点 (m,n) 距离为3，
所以复数 z2 在复平面对应得点为以 (3,4) 为圆心，2为半径的圆上的点或以 (3,4) 为圆心，8为半径的圆上的点，如图所示：

|z2| 表示点 (m,n) 和原点 (0,0) 的距离，由图可知 |z2| 的最小为3，最大为 10+3=13 .
故答案为：D.
【分析】设 z1=x+yi,x,y∈R ，由 |z1−8−14i|=5|z1−4−6i|可得(x−3)2+(y−4)2=25 ， 设 z2=m+ni,m,n∈R ，则点 (x,y) 和点 (m,n) 距离为3，作图像即可得解。
17. 【答案】 一
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】 ∵z=2−i ，
∴z=2+i,z+i=2+i+i=2+2i ，
∴z(z+i)=(2−i)(2+2i)=6+2i ，
所以 z(z+i) 对应的点为 (6,2) ，在第一象限，
故答案为：一
【分析】 利用复数代数形式的乘除法运算化简，求出z的坐标，从而得出答案.
18. 【答案】 1
【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】解：因为 z=1+2i1−2i=(1+2i)2(1−2i)(1+2i)=1+4i+4i25=−35+45i ，
所以 |z|=(−35)2+(45)2=1 ，
故答案为：1
【分析】根据复数的乘除运算化简z，再根据复数模的定义可得答案。
19. 【答案】 4；25
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数求模
【解析】 z=101−2i=10(1+2i)(1−2i)(1+2i)=10(1+2i)5=2+4i ，
所以复数 z 的虚部是4， |z|=22+42=25 ,
故答案为： 4 ； 25。
【分析】利用复数的乘除法运算法则，进而求出复数z，再利用复数虚部的定义求出复数的虚部，再利用复数求模公式，进而求出复数z的模。
20. 【答案】 −43
【考点】虚数单位i及其性质
【解析】根据已知得 {45−sinθ=0cosθ−35≠0 ，所以 {sinθ=45cosθ=−35 ，于是 tanθ=sinθcosθ=−43 .
故答案为： −43
【分析】 利用纯虚数的定义列出方程组求解即可.
21. 【答案】 23