北京课改版第十五章 四边形综合与测试巩固练习

京改版八年级数学下册第十五章四边形同步训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（　　）

A．cm B．2cm C．1cm D．2cm

2、四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（　　）

A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°

C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等

3、如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

4、下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ）

A．1：2：3：4 B．1：4：2：3

C．1：2：2：1 D．3：2：3：2

5、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．8

6、如图，在六边形中，若，则（    ）

A．180° B．240° C．270° D．360°

7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足，则这个四边形是（    ）

A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形

9、下列说法中，不正确的是（    ）

A．四个角都相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形

C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴

D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

10、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（     ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的对角线分别为________．

2、一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的边数为__________．

3、一个正多边形的内角和为540°，则它的一个外角等于 ______．

4、如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 __（结果保留根号和．

5、如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线的夹角为60°，则这个矩形的对角线长是_________cm．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求 BG的长．

2、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．

3、如图，在正方形中，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点，连接．

（1）当点在线段上时，如图①，求证：；

（2）当点在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

4、如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．

（1）求线段AC的长度．

（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．

①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．

②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

5、如图是两张10×10的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在方格纸中分别画出符合要求的格点四边形（格点四边形是指四边形的各顶点均在小正方形的顶点上）：

（1）请在图1中，画出一个面积为24，且它是中心对称图形不是轴对称图形．

（2）请在图2中，画出一个周长为24，且既是中心对称图形也是轴对称图形．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．

【详解】

解：∵菱形ABCD的周长为8cm，

∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝2cm，

∴OA＝1（cm），

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），

∴BD＝2OB＝2（cm），

故选：B．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．

2、D

【分析】

直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．

【详解】

解：A．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

B．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

C．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

D．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查了四边形内角和和外角和，解题关键是熟记四边形内角和与外角和都是360°．

3、C

【分析】

根据题意由角平分线先得到是含有角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而得到OP，DP的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC的最小值．

【详解】

解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，

∴，

∵PD⊥OA，M是OP的中点，

∴，

∴

∵点C是OB上一个动点

∴当时，PC的值最小，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，

∴最小值，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质、含有角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．

4、D

【分析】

两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．

【详解】

解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．

故选：D．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

5、A

【分析】

如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，进行求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接AC，OB交于点D，

∵C是直线与y轴的交点，

∴点C的坐标为（0，2），

∵OA=4，

∴A点坐标为（4，0），

∵四边形OABC是矩形，

∴D是AC的中点，

∴D点坐标为（2，1），

当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，

由题意得平移后的直线解析式为，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．

6、C

【分析】

根据多边形外角和求解即可．

【详解】

解： ，

  ，

故选：C

【点睛】

本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和是解题的关键．

7、C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

8、B

【分析】

根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．

【详解】

解：，

，

，

，

∴a=b，c=d，

∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，

∴c、d是对边，

∴该四边形是平行四边形，

故选：B．

【点睛】

此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．

9、D

【分析】

根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；

B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；

C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；

D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键．

10、C

【分析】

由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，再求解设BE=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．

【详解】

解： 矩形ABCD，

设BE=x，

∵AE为折痕，

∴AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，

Rt△ABC中，

∴Rt△EFC中，，EC=2-x，

∴，

解得：，

则点E到点B的距离为：．

故选：C．

【点睛】

本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式的乘法运算，利用对折得到，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．

二、填空题

1、6和8

【分析】

根据比例设两条对角线分别为3x、4x，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求出x的值即可．

【详解】

解：设两条对角线分别为3x、4x，

根据题意得，×3x•4x=24，

解得x=2（负值舍去），

∴菱形的两对角线的长分别为，．

故答案为：6和8．

【点睛】

本题考查了菱形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积的求法，需熟记．

2、9

【分析】

设正多边形的外角为x度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．

【详解】

设正多边形的外角为x度，则内角为(5x−60)度

由题意得：

解得：

则正多边形的边数为：360÷40=9

即这个正多边形的边数为9

故答案为：9

【点睛】

本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．

3、72°

【分析】

根据题意求得正多边形的边数，进而求得答案

【详解】

解：∵一个正多边形的内角和为540°，即

∴

由

故答案为：

【点睛】

本题考查了正多边形的内角和和外角和公式，根据内角和公式求得边数是解题的关键．

4、

【分析】

设的中点为，连接，先求出，，则，，然后求出，最后根据求解即可．

【详解】

解：设的中点为，连接，

，四边形ABCD是矩形，

，∠ABC=90°，

又∵∠CAB=30°，

∴，

∴，

∴，

，

，

，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到．

5、10

【分析】

如图，由题意得：四边形为矩形，证明是等边三角形，结合矩形的性质可得答案.

【详解】

解：如图，由题意得：四边形为矩形，

是等边三角形，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是等边三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键.

三、解答题

1、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）由正方形的性质可得，，由的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE；

（2）证明正方形的性质可得，结合已知条件即可求得，进而勾股定理即可求得的长

【详解】

（1）∵BF⊥DE

∴∠BFE=90°

∵四边形ABCD是正方形

∴∠DCE=90°,

∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E，

∴∠CBG=∠CDE

∴△BCG≌△DCE

∴CG=CE

（2）∵，且，，

∴

∵CG=CE   

∴，

在中，

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．

2、（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为

【分析】

（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；

（2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，

∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC （三线合一），

即BD⊥AC，

∴▱ABCD是菱形；

（2）解：∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAC＝60°

由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC

∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，

∵∠AED＝2∠EAD，

∴∠EAD＝15°，

∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，

∵▱ABCD是菱形，

∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）图②中，图③中

【分析】

（1）在上截取，连接，可先证得，则，，进而可证得△AED为等腰直角三角形，即可得证；

（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的，与之间的数量关系．

【详解】

解：（1）证明：如图，在上截取，连接．

∵四边形是正方形，

，，

，，

，

，

，

，，

，

，，

，

∴△ECF是等腰直角三角形，

在中，，

，

；

（2）图②：，理由如下：

如下图，在延长线上截取，连接．

∵四边形是正方形，

，，

，，

，

，

，， 

，

，，

，

∴△ECF是等腰直角三角形， 

在中，，

，

；

图③：

如图，在DE上截取DF=BE，连接．

∵四边形是正方形，

，，

，，

，

，

，，

，

，，

，

∴△ECF是等腰直角三角形，

在中，，

， 

．

【点睛】

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．

4、（1）；（2）①；②存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形．

【分析】

（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出结果；

（2）①设，利用待定系数法直线AC的解析式为，由，根据代入数值即可求出t的值；

②当N点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出a即可得到点N的坐标；当N点在x轴上方时，点与N关于对称，得到点N’的坐标．

【详解】

（1）把代入得：，

一次函数解析式为，

令，得，

∴，

在中，，，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

；

（2）①设，

∴P在线段AB上，

∴，

设直线AC的解析式为，代入，得：

，

∴，

∴，

又∵轴，则，

∴，

，

又∵，

∴得．

②如图所示，当N点在轴下方时，

∵，

∴，

∴，

∵是以PM为直角边的等腰直角三角形，

当时，，，

设，

过P点作直线轴，作，，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，作，则，

∵，

∴，

∴M在直线AB上，

∴

，

∴，

∴．

当N点在x轴上方时，如图所示：

点与关于对称，

则，即，

综上：存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形．

【点睛】

题目主要是考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点综合运用是解题的关键．

5、（1）画图见解析；（2）画图见解析

【分析】

（1）利用平行四边形的性质结合其面积求法得出答案，答案不唯一；

（2）利用矩形的性质结合其周长得出答案，答案不唯一．

【详解】

解：（1）如图1所示：

（2）如图2所示：

答案不唯一．

【点睛】

本题主要考查了画轴对称图形和中心对称图形，解决本题的关键是要熟练正确把握中心对称图形和轴对称图形的性质．