初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试练习

京改版八年级数学下册第十五章四边形定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2、下列图形中，是中心对称图形的是（   ）

A． B． C． D．

3、直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（　　）

A．6 B．6.5 C．10 D．13

4、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5、已知三角形三边长分别为7cm，8cm，9cm，作三条中位线组成一个新的三角形，同样方法作下去，一共做了五个新的三角形，则这五个新三角形的周长之和为（    ）

A．46.5cm B．22.5cm C．23.25cm D．以上都不对

6、如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（    ）

A．A，B，C都不在 B．只有B

C．只有A，C D．A，B，C

7、如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（    ）

A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2

8、如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（    ）

A．20 B．10 C．5 D．2

9、如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．20° C．15° D．10°

10、下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一个多边形，每个外角都是，则这个多边形是________边形．

2、已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是______．

3、若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为___________．

4、如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连BG，DH，且，当＝_______时，四边形BHDG为菱形．

5、正五边形的一个内角与一个外角的比______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．

2、综合与实践

（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　   　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　   　．

3、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形；

（2）在图2中，画一个以BC为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等；

（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．

4、如图，在中，，D是边上的一点，过D作交于点E，，连接交于点F．

（1）求证：是的垂直平分线；

（2）若点D为的中点，且，求的长．

5、如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
 

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2、B

【分析】

根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3、B

【分析】

根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

【详解】

解：∵直角三角形两直角边长为5和12，

∴斜边＝，

∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．

4、C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

5、C

【分析】

如图所示，，，，DE，DF，EF分别是三角形ABC的中位线，GH，GI，HI分别是△DEF的中位线，则，，，即可得到△DEF的周长，由此即可求出其他四个新三角形的周长，最后求和即可．

【详解】

解：如图所示，，，，DE，DF，EF分别是三角形ABC的中位线，GH，GI，HI分别是△DEF的中位线，

∴，，，

∴△DEF的周长，

同理可得：△GHI的周长，

∴第三次作中位线得到的三角形周长为，

∴第四次作中位线得到的三角形周长为

∴第三次作中位线得到的三角形周长为

∴这五个新三角形的周长之和为，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握三角形中位线定理．

6、D

【分析】

根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即可得．

【详解】

解：如图所示：连接BD，

∵，，，

∴，

∴为直角三角形，

∵D为AC中点，

∴，

∵覆盖半径为300 ，

∴A、B、C三个点都被覆盖，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．

7、D

【分析】

根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.

【详解】

解：当，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，
∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，
∴BE=CP=6厘米，
∴BP=10-6=4厘米，
∴运动时间t=4÷2=2（秒）；
当，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t=（秒）.

综上t的值为2.5或2.
故选：D．

【点睛】

本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．

8、C

【分析】

由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．

【详解】

解：∵在中，，AB=10，CD是AB边上的中线

故选：C．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

9、D

【分析】

根据矩形的性质，可得∠ABD＝40°，∠DBC＝50°，根据折叠可得∠DBC′＝∠DBC＝50°，最后根据∠2＝∠DB C′−∠DBA进行计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，CD∥AB，
∴∠ABD=∠1＝40°，

∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=50°，
由折叠可得∠DB C′＝∠DBC＝50°，
∴∠2＝∠DB C′−∠DBA＝50°−40°＝10°，
故选D．

【点睛】

本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∠DBC′和∠DBA的度数．

10、B

【详解】

A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．

二、填空题

1、六6

【分析】

根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数．

【详解】

∵一个多边形的每个外角都是60°，
∴n=360°÷60°=6，
故答案为：六．

【点睛】

本题主要考查了利用多边形的外角和，熟练掌握多边形外角和360°是解决问题的关键．

2、6

【分析】

正方形的面积：边长的平方或两条对角线之积的一半，根据公式直接计算即可.

【详解】

解： 正方形ABCD的一条对角线长为2，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是正方形的性质，掌握“正方形的面积等于两条对角线之积的一半”是解题的关键.

3、6

【分析】

由题意直接由菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．

【详解】

解：菱形的面积.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

4、

【分析】

设 则再利用矩形的性质建立方程求解 从而可得答案.

【详解】

解： 四边形BHDG为菱形，

设

AD＝3AB，

设 则

矩形ABCD，

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，菱形的性质，利用图形的性质建立方程确定之间的关系是解本题的关键.

5、

【分析】

根据公式分别求出一个内角与一个外角的度数，即可得到答案．

【详解】

解：正五边形的一个内角的度数为，正五边形的一个外角的度数为，

∴正五边形的一个内角与一个外角的比为，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了正五边形的内角度数及外角度数，熟记多边形的内角和与外角和公式是解题的关键．

三、解答题

1、见解析

【分析】

根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，

∵BE=BF，

∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，

∴∠DEF=∠DFE．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．

2、（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析

【分析】

（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；

（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；

（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．

【详解】

解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ，

∴∠BCM'+∠BCD=180°，

∴点M'、C、N三点共线，

∵∠MBN=45°，

∴∠ABM+∠CBN=45°，

∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，

即∠M'BN=∠MBN，

∵BN=BN，

∴△NBM≌△NBM'，

∴MN= M'N，

∵M'N= M'C+CN，

∴MN= M'C+CN=AM+CN；

（2）MN=AM+CN；理由如下：

如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

∵∠A+∠C＝180°，

∴∠BCM'+∠BCD=180°，

∴点M'、C、N三点共线，

∵∠MBN＝∠ABC，

∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，

∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，

∵BN=BN，

∴△NBM≌△NBM'，

∴MN= M'N，

∵M'N= M'C+CN，

∴MN= M'C+CN=AM+CN；

（3）MN=CN-AM，理由如下：

如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，

∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠C+∠BAD=180°，

∵∠BAM+∠BAD=180°，

∴∠BAM=∠C，

∵AB＝BC，

∴△ABM≌△CB M'，

∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，

∴∠MA M'=∠ABC，

∵∠MBN＝∠ABC，

∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，

∵BN=BN，

∴△NBM≌△NBM'，

∴MN= M'N，

∵M'N=CN-C M'， 

∴MN=CN-AM．

故答案是：MN=CN-AM．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）如图，AB=4，BC=3，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；

（2）如图， ，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；

（3）如图， ，则，∠ABC=90°，即可得到四边形ABCD是正方形，．

【详解】

解：（1）如图所示，AB=4，BC=3，，

∴，

∴△ABC是直角三角形；

（2）如图所示， ，

∴，

∴△ABC是直角三角形；

（3）如图所示，， ，

∴，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴．

【点睛】

本题主要考查了有理数与无理数，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）6

【分析】

（1）由BC=BD，可得∠BCD=∠BDC，再由及，可得∠ECD=∠EDC，则有EC=ED，从而可得点B、E在线段CD的垂直平分线上，从而可得结论；

（2）由D点是AB的中点及BC=BD，可得△BDC是等边三角形，从而由30度的直角三角形的性质可分别求得EC、BE，由AE=BE，即可求得AC的长．

【详解】

（1）∵BC=BD

∴∠BCD=∠BDC，点B在线段CD的垂直平分线上

∵，

∴∠BCD+∠ECD=∠EDC+∠BDC

∴∠ECD=∠EDC

∴EC=ED

∴点E在线段CD的垂直平分线上

∴BE是线段CD的垂直平分线

（2）D点是AB的中点，∠ACB=90゜

∴CD是Rt△ABC斜边上的中线

∴CD=BD

∴CD=BC=BD

∴△BDC是等边三角形

∴∠BCD=∠DBC=60゜

∴∠ECF=90゜－60゜=30゜

由（1）知，BF⊥CD

∴EC=2EF=2，

∴BE=2EC=4

∵DE⊥AB，点D为AB的中点

∴AE=BE=4

∴AC=AE+EC=4+2=6

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，直角三角形斜边上的中线的性质，30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；题目虽不难，但涉及的知识点比较多，灵活运用这些知识是解题的关键．

5、见解析

【分析】

先根据平行线的性质得到∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF，再由角平分线的定义得到，，则∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF，推出DE＝DC，DF＝DC，则DE＝DF，再由AD＝CD，即可证明四边形AECF是平行四边形，再由∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝，即可得证．

【详解】

证明：∵PQ∥BC，

∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF，

∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG，

∴，，

∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF，

∴DE＝DC，DF＝DC，

∴DE＝DF，

∵点D是边AC的中点，

∴AD＝CD，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠BCA+∠ACG＝180°，

∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝，

∴平行四边形AECF是矩形．

【点睛】

本题主要考查了矩形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，等等，熟练掌握矩形的判定条件是解题的关键．