第七章 第三节 空间点、直线、平面的位置关系课件PPT

课时跟踪检测（四十一）  空间点、直线、平面的位置关系

[素养落实练]

1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(　　)

A．充要条件　　　　　　 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C　直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b” “l⊥α”；“l⊥α”⇒“l⊥a，l⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．

2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)

A．相交  B．异面

C．平行  D．垂直

解析：选A　如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．

3．(多选)下列命题正确的是(　　)

A．直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行

B．夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面

C．直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α

D．a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等

解析：选BD　直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此选项A、C为假命题，易知选项B、D为真命题．

4．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝，则tan ∠EAB＝＝，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.

5．已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

解析：选A　如图，取AC的中点D，连接DN，DM，

由已知条件可得DN＝2，DM＝2.

在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，

则cos∠DNM＝＝，∴∠DNM＝30°.

6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(　　)

A．1  B．4

C．7  D．8

解析：选C　当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥．当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图①.令截面与三棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；

当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图②，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个，故选C.

7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

解析：如果这四点在同一平面内，那么确定1个平面；

如果这四点不共面，则任意三点可确定1个平面，所以可确定4个．

答案：1或4

8．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；　　　②m∥α；　　　③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________.

解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，

由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；

由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；

由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.

故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.

答案：若m∥α且l⊥α，则l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)

9.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是________．

解析：构造四面体ABCD，使AB＝a，CD＝，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中点E，则AE＝BE＝，所以＋>a，所以0<a<.

答案：(0，)

10．(2021·长治月考)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列说法正确的是________(填序号)．

①直线AC1在平面CC1B1B内；

②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；

③由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；

④由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．

解析：①错误，如图(1)所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B；

②正确，如图(2)所示，因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；③④都正确，如图(3)所示，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面．

答案：②③④

11.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：

(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由．

解：(1)AM与CN不是异面直线．理由如下：

如图，连接MN，A1C1，AC.

因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，

所以四边形A1ACC1为平行四边形，

所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，

所以A，M，N，C在同一平面内，

故AM和CN不是异面直线．

(2)D1B与CC1是异面直线．理由如下：

因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，

所以B，C，C1，D1不共面．

假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，

所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．

所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

12.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱锥P­ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P­ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.

 (2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，

所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

[梯度拔高练]

1．(多选)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是(　　)

A．GH与EF平行

B．BD与MN为异面直线

C．GH与MN成60°角

D．DE与MN垂直

解析：选BCD　如图，把平面展开图还原成正四面体，

知GH与EF为异面直线，A不正确；

BD与MN为异面直线，B正确；GH∥AD，MN∥AF，

而∠DAF＝60°，

∴∠GHM＝60°，

∴GH与MN成60°角，C正确；

连接AG，FG，AG⊥DE，FG⊥DE，

∴DE⊥平面AFG，∴DE⊥AF，又MN∥AF，

∴DE与MN垂直，D正确．

2. (2021·吕梁模拟)如图，在四面体A­BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF∥BC，FG∥AD，则下列结论正确的个数为(　　)

①四边形EFGH的周长为定值；

②四边形EFGH的面积为定值；

③四边形EFGH为矩形；

④四边形EFGH的面积有最大值1.

A．0  B．1

C．2  D．3

解析： 选D　因为EF∥BC，EF⊄平面BCD，

所以EF∥平面BCD，

又平面EFGH∩平面BCD＝GH，

所以EF∥GH.同理FG∥EH，

所以四边形EFGH为平行四边形，

又AD⊥BC，所以四边形EFGH为矩形．

所以③是正确的；

由相似三角形的性质得＝，＝，

所以＋＝＋＝1，

因为BC＝AD＝2，所以EF＋FG＝2，

所以四边形EFGH的周长为定值4，所以①是正确的；

因为S四边形EFGH＝EF×FG≤2＝1，

所以四边形EFGH的面积有最大值1，

所以④是正确的．故选D.

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1(棱长为1)中，点P在线段AD上(点P异于A，D两点)，线段DD1的中点为点Q.若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP的取值范围为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

解析：选D　如图，设平面BPQ与直线CC1交于点E.

∵ABCD­A1B1C1D1是正方体，

∴平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

而平面BPQ∩平面ADD1A1＝PQ，平面BPQ∩平面BCC1B1＝BE，

∴PQ∥BE，则△PDQ∽△BCE，

∴＝，∴PD＝·DQ＝.

要使平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则需点E在线段CC1上，

当点P在点A时，E恰在线段CC1的中点处．

∵点P在线段AD上(点P异于A，D两点)，

∴<CE≤1，∴1<2CE≤2，

∴≤<1，即≤PD<1，∴0<AP≤.故选D.

4.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，求直线BP与动直线CE所成角的范围．

解：如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．

则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，

故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．

由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.

而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，

所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.

所以所求线线角的取值范围是.