2023届高考一轮复习讲义（理科）第九章　平面解析几何 第5讲　第2课时　直线与椭圆的位置关系学案

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直线与椭圆的位置关系(自主练透)
1．(一题多解)若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>0
C．00)的离心率为eq \f(\r(6),3)，焦距为2eq \r(2).斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
解：(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,2c＝2\r(2)，))解得a＝eq \r(3)，b＝1.
所以椭圆M的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－eq \f(3m,2)，x1x2＝eq \f(3m2－3,4).
所以|AB|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)
＝eq \r(2（x2－x1）2)＝eq \r(2[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝eq \r(\f(12－3m2,2)).
当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为eq \r(6).
中点弦问题(多维探究)
角度一 由中点弦确定直线方程或曲线方程
(1)已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．
(2)焦点是F(0，5eq \r(2))，并截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq \f(2,7)的椭圆的标准方程为________．
【解析】 (1)设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为P(x0，y0)，通解：有eq \f(xeq \\al(2,1),2)＋yeq \\al(2,1)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),2) ＋yeq \\al(2,2)＝1.
两式作差，得eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,2)＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq \f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，代入后求得kAB＝－eq \f(x0,2y0).
即2＝－eq \f(x0,2y0)，所以x0＋4y0＝0.
优解：由kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)得2·eq \f(y0,x0)＝－eq \f(1,2)，
即x0＋4y0＝0.
故所求的轨迹方程为x＋4y＝0，将x＋4y＝0代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得：eq \f(x2,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,4)))eq \s\up12(2)＝1，解得x＝±eq \f(4,3)，又中点在椭圆内，所以－eq \f(4,3)0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，可得弦AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，且eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2,7)，eq \f(y1＋y2,2)＝－eq \f(3,7).将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),a2)＋\f(xeq \\al(2,1),b2)＝1，,\f(yeq \\al(2,2),a2)＋\f(xeq \\al(2,2),b2)＝1.))两式相减并化简，得eq \f(a2,b2)＝－eq \f(y1－y2,x1－x2)×eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－2×eq \f(－\f(6,7),\f(4,7))＝3，
所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,75)＋eq \f(x2,25)＝1.
优解：设弦的中点为M，由kAB·kOM＝－eq \f(a2,b2)得
2×eq \f(2×\f(2,7)－1,\f(2,7))＝－eq \f(a2,b2)，得a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25，所以所求的方程为eq \f(y2,75)＋eq \f(x2,25)＝1.
【答案】 (1)x＋4y＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)b>0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),3)
解析：选B.由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝x－c，))得(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝\f(－2b2c,a2＋b2)，,y1y2＝\f(－b4,a2＋b2)，))又eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FB,\s\up6(→))，
所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2)，,－2yeq \\al(2,2)＝\f(－b4,a2＋b2).))所以eq \f(1,2)＝eq \f(4c2,a2＋b2)，所以e＝eq \f(\r(2),3)，故选B.
5．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D.因为(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(F1O,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))
＝eq \(F1P,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，
所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，mn＝2，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)mn＝1.
6．已知斜率为2的直线经过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2（x－1），,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得
x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1x2＝0.
则|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)
＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝ eq \r(（1＋22）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))\s\up12(2)－4×0)))＝eq \f(5\r(5),3).
答案：eq \f(5\r(5),3)
7．直线m与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．
解析：由点差法可求出k1＝－eq \f(1,2)·eq \f(x中,y中)，
所以k1·eq \f(y中,x中)＝－eq \f(1,2)，即k1k2＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
8.从椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
kOP＝－eq \f(y0,c)，kAB＝－eq \f(b,a)，由于OP∥AB，
所以－eq \f(y0,c)＝－eq \f(b,a)，y0＝eq \f(bc,a)，
把Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(bc,a)))代入椭圆方程得eq \f(（－c）2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)))\s\up12(2),b2)＝1，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
9．已知椭圆E的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线x－y＋2eq \r(2)＝0的距离是3.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．
解：(1)由题意得b＝1.右焦点(c，0)(c>0)到直线x－y＋2eq \r(2)＝0的距离d＝eq \f(|c＋2\r(2)|,\r(2))＝3，所以c＝eq \r(2).所以a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(3)，所以椭圆E的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，此时直线l的方程为x＝0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,3)＋y2＝1))得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，所以xA＝0，xB＝eq \f(－6k,1＋3k2)，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \f(6|k|,1＋3k2)，|AB|2＝eq \f(36k2（1＋k2）,（1＋3k2）2).
令t＝1＋3k2，t∈(1，＋∞)，则|AB|2＝4×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))\s\up12(2)＋\f(1,t)＋1))，所以当eq \f(1,t)＝eq \f(1,4)，即k2＝1，得k＝±1时，|AB|2取得最大值为eq \f(9,2)，即|AB|的最大值为eq \f(3\r(2),2)，此时直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1.
因为2b>0)，得(a2＋b2)x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(10a2,a2＋b2)，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以eq \f(10a2,a2＋b2)＝8，解得a＝2b，又c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(3)b，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).故选C.
2．(一题多解)(2020·广东深圳一模)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|QF1|＝2|PF1|，则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为( )
A．2－eq \r(3) B．eq \r(2)－1
C.eq \r(2)＋1 D．2＋eq \r(3)
解析：选D.法一：可设|PF1|＝t，则|QF1|＝2|PF1|＝2t，
由椭圆的定义可得|PF2|＝2a－t，|QF2|＝2a－2t，
|PQ|＝4a－3t，
则|PQ|2＋|PF1|2＝|QF1|2，即(4a－3t)2＋t2＝4t2，
即有4a－3t＝eq \r(3)t，解得t＝eq \f(4,3＋\r(3))a，
则△PF1F2与△QF1F2的面积之比为
eq \f(\f(1,2)|PF1|·|PF2|,\f(1,2)|QF1|·|QF2|·sin 30°)＝eq \f(\f(1,2)·\f(4,3＋\r(3))a·\f(2＋2\r(3),3＋\r(3))a,\f(1,2)·\f(8,3＋\r(3))a·\f(2\r(3)－2,3＋\r(3))a·\f(1,2))＝eq \f(1＋\r(3),\r(3)－1)＝2＋eq \r(3).故选D.
法二：同法一得出t＝eq \f(4,3＋\r(3))a，
则eq \f(S△PF1F2,S△QF1F2)＝eq \f(\f(1,2)|F1F2||yP|,\f(1,2)|F1F2||yQ|)＝eq \f(|yP|,|yQ|)
＝eq \f(|PF2|,|QF2|)＝eq \f(2a－t,2a－2t)
＝eq \f(2a－\f(4,3＋\r(3))a,2a－2×\f(4,3＋\r(3))a)
＝eq \f(（2＋2\r(3)）a,（2\r(3)－2）a)＝2＋eq \r(3).
故选D.
3．(一题多解)(2020·安徽蚌埠一模)已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))，则∠F1AF2的平分线所在直线的斜率为________．
解析：法一：因为F1，F2是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左，右焦点，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)，又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2)))，
所以AF1⊥x轴，
所以|AF1|＝eq \f(3,2)，则|AF2|＝eq \f(5,2)，所以点F2(1，0)关于l(∠F1AF2的平分线所在直线)对称的点F′2在线段AF1的延长线上，
又|AF′2|＝|AF2|＝eq \f(5,2)，所以|F′2F1|＝1，
所以F′2(－1，－1)，线段F′2F2的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，
所以所求直线的斜率为eq \f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),－1－0)＝－2.
法二：如图．
设∠F1AF2的平分线交x轴于点N，
∠F1AN＝β，∠ANF2＝α.
因为tan 2β＝eq \f(|F1F2|,|AF1|)＝eq \f(2,\f(3,2))＝eq \f(4,3)＝eq \f(2tan β,1－tan2β)，
所以tan β＝eq \f(1,2)或－2(舍)．
在Rt△AF1N中，tan β＝eq \f(|F1N|,|AF1|)，即eq \f(|F1N|,\f(3,2))＝eq \f(1,2)，
所以|F1N|＝eq \f(3,4)，
所以kl＝tan α＝tan(π－∠ANF1)＝－tan∠ANF1＝－eq \f(|AF1|,|F1N|)＝－eq \f(\f(3,2),\f(3,4))＝－2.
答案：－2
4.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为eq \(B2A2,\s\up6(→))，eq \(F2B1,\s\up6(→))所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)eq \f(\r(5)－1,2)或e