高中数学第三章 空间向量与立体几何1 空间直角坐标系1.2 空间两点间的距离公式当堂达标检测题

这是一份高中数学第三章 空间向量与立体几何1 空间直角坐标系1.2 空间两点间的距离公式当堂达标检测题，共13页。试卷主要包含了已知A,B,C,则A,B,C等内容，欢迎下载使用。
题组一 空间两点间的距离公式
1.(2020四川广安高二上期末)在空间直角坐标系中,点P(-1,-2,-3)到原点的距离是( )
A.1 B.14 C.2 D.3
2.(2021安徽宿州十三所重点中学高二上期中联考)在空间直角坐标系中,点A(1,3,-1)和点B(2,1,-2)之间的距离为( )
A.2 B.5
C.6 D.14
3.(2020陕西西安西北大学附属中学高二上期中)已知点B是点A(1,2,3)在yOz平面内的投影,则|OB|等于( )
A.14 B.13
C.10 D.5
4.(2021吉林洮南第一中学高二上期中)已知空间直角坐标系中,点A(1,2,3)关于yOz平面的对称点为B,点B关于x轴的对称点为C,则|BC|=( )
A.214 B.6
C.4 D.213
5.(2020四川成都高二上期末调研考试)在空间直角坐标系O-xyz中,点M(0,m,0)与点P(1,0,2)和点Q(1,-3,1)之间的距离相等,则实数m的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
6.(2020陕西西安长安第一中学高一下返校考试)空间直角坐标系中,点A(-3,4,0)与点B(x,-1,6)之间的距离为86,则x的值为 .
题组二 空间两点间的距离公式的简单应用
7.(2020四川岳池第一中学高二6月月考)已知△ABC的三个顶点A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为( )
A.2 B.3 C.647 D.657
8.(2020江苏淮安高中教学协作体高一下期中)在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2)与点B(1,-3,1),若在z轴上有一点M满足|MA|=|MB|,则点M的坐标为( )
A.(0,0,-3) B.(0,0,3)
C.(0,0,5) D.(0,0,-5)
9.(2021安徽太和第一中学高二上期中)已知A(2,2,0),B(0,2,2),C(2,0,2),则A,B,C( )
A.三点共线 B.构成直角三角形
C.构成钝角三角形 D.构成等边三角形
10.(2021山西吕梁贺昌中学高二上期中)在空间直角坐标系中,已知点P1(0,2,3),P2(0,1,-1),点P在x轴上,若|PP1|=2|PP2|,求点P的坐标.
11.(2021河北艺术职业中学高二上第一次月考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,|AB|=|AC|=|AA1|=4,M为BC1的中点,N为A1B1的中点,求|MN|.
12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为正方形A1B1C1D1的中心,求证:AP⊥B1P.
13.(2020北京第八中学高三下自主测试一)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),求此四面体在xOy平面上的正投影的面积.
能力提升练
题组一 空间两点间的距离公式
1.()已知正方体ABCO-A'B'C'O'的棱长为a,则A'C的中点E与AB的中点F之间的距离为( )
A.2a B.22a C.a D.12a
2.(2020广东湛江第二十一中学高二下复学考试,)在空间直角坐标系中,以A(m,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形,其中m∈Z,则m的值为( )
A.-4 B.4 C.-6或4 D.6或4
3.(2021河北张家口尚义第一中学高二上期中,)如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a,M为BD'的中点,点N在A'C'上,且|A'N|=3|NC'|,则MN的长为 .
4.(2020江西吉安二中高二上期中,)在空间直角坐标系中,已知A(1,2,-1),B(2,0,2).
(1)在x轴上求一点P,使得|PA|=|PB|;
(2)在xOz平面内存在点M,满足|MA|=|MB|,求点M的轨迹.
题组二 利用空间两点间的距离公式求最值
5.(2021山东滕州第一中学高二月考,)已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2),点B是xOy平面内直线x+y=1上的动点,则A,B两点间的距离最小为( )
A.6 B.342 C.3 D.172
6.(2020河南焦作高三上第二次模拟考试,)已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为32,AB=2BC=4,E∈平面ABB1A1,若点E到直线AA1的距离与到直线CD的距离相等,则|D1E|的最小值为 .
7.()已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,点M是B1C1的中点,点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出点D,N,M的坐标;
(2)求线段MD,MN的长度;
(3)设点P是线段DN上的动点,求线段MP长度的最小值.
8.(2020陕西延安第一中学高二下6月月考,)如图,以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系O-xyz,点P在体对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动.当Q是棱CD的中点时,试求|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.B 根据空间两点间的距离公式,
可得点P(-1,-2,-3)到原点的距离为(-1)2+(-2)2+(-3)2=14.故选B.
2.C |AB|=(1-2)2+(3-1)2+(-1+2)2=6,故选C.
3.B ∵点B是点A(1,2,3)在yOz平面内的投影,∴点B的坐标为(0,2,3),
∴|OB|=22+32=13,故选B.
4.D 由题意得B(-1,2,3),C(-1,-2,-3),所以|BC|=(-1+1)2+(2+2)2+(3+3)2=213,故选D.
5.B ∵M(0,m,0),P(1,0,2),Q(1,-3,1),|MP|=|MQ|,∴12+(-m)2+22=12+(-3-m)2+12,解得m=-1.故选B.
6.答案 2或-8
解析 由空间两点间的距离公式得|AB|=(x+3)2+(-1-4)2+(6-0)2=86,解得x=-8或x=2.
7.B 设BC的中点为M,
由题意得M(2,1,4),
∴|AM|=(3-2)2+(3-1)2+(2-4)2=3.
∴BC边上的中线长为3.故选B.
8.A 设M的坐标为(0,0,z),若|MA|=|MB|,则有(0-1)2+(0-0)2+(z-2)2=(0-1)2+(0+3)2+(z-1)2,解得z=-3.
即点M的坐标为(0,0,-3),故选A.
9.D |AB|=(2-0)2+(2-2)2+(0-2)2=22,
|BC|=(0-2)2+(2-0)2+(2-2)2=22,
|AC|=(2-2)2+(2-0)2+(0-2)2=22,
所以|AB|=|BC|=|AC|,
所以△ABC为等边三角形.故选D.
10.解析 因为点P在x轴上,所以设其坐标为(x,0,0),
则|PP1|=(x-0)2+(0-2)2+(0-3)2=x2+11,同理|PP2|=x2+2,
又|PP1|=2|PP2|,
所以x2+11=2x2+2,解得x=±1,
故点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).
11.解析 因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,因为AB,AC⊂平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为∠BAC=90°,所以AB⊥AC,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
则B(4,0,0),C1(0,4,4),A1(0,0,4),B1(4,0,4),则M(2,2,2),N(2,0,4),
所以|MN|=(2-2)2+(2-0)2+(2-4)2=22.
12.证明 以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图:
连接AB1,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B1(1,1,1),P12,12,1,易求得|AP|=62,|B1P|=22,|AB1|=2.
∵|AP|2+|B1P|2=|AB1|2,∴AP⊥B1P.
13.解析 如图,(1,0,1),(0,0,1)在xOy平面上的投影的坐标分别为(1,0,0),(0,0,0),
故四面体在xOy平面上的正投影图形为以A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)为顶点构成的三角形,
易得|AB|=1,|AC|=2,|BC|=1,
故|AB|=|BC|,|AB|2+|BC|2=|AC|2,
所以△ABC为等腰直角三角形,
故S△ABC=12×1×1=12.
能力提升练
1.B 以O为坐标原点,OA,OC,OO'所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(图略).
则A'(a,0,a),C(0,a,0),A(a,0,0),B(a,a,0),Ea2,a2,a2,Fa,a2,0,
∴|EF|=a24+a24=22a.故选B.
2.B 若△ABC是以AB为底边的等腰三角形,则|AC|=|BC|,
有(m-2)2+(1-4)2+(9-3)2
=(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2,
整理得m2-4m-49=0,m∈Z,
方程无实根;
若△ABC是以AC为底边的等腰三角形,
则|AB|=|BC|,
有(m-10)2+(1+1)2+(9-6)2
=(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2,
整理得m2-20m+15=0,m∈Z,方程无实根;
若△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
则|AB|=|AC|,
有(m-10)2+(1+1)2+(9-6)2
=(m-2)2+(1-4)2+(9-3)2,
即m2-20m+113=m2-4m+49,m∈Z,
解得m=4.
故选B.
3.答案 64a
解析 由题意,以D为原点,DA,DC,DD'所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,取A'C'的中点O',
因为正方体的棱长为a,所以B(a,a,0),A'(a,0,a),C'(0,a,a),D'(0,0,a).
由于M为BD'的中点,O'为A'C'的中点,
所以Ma2,a2,a2,O'a2,a2,a.
因为|A'N|=3|NC'|,
所以N为A'C'的四等分点,
从而N为O'C'的中点,故Na4,3a4,a,
所以|MN|
=a2-a42+a2-3a42+a2-a2
=64a.
4.解析 (1)设P(a,0,0),则由|PA|=|PB|,A(1,2,-1),B(2,0,2),
得(a-1)2+(-2)2+12=(a-2)2+(-2)2,
即a2-2a+6=a2-4a+8,解得a=1,
所以点P的坐标为(1,0,0).
(2)设M(x,0,z),由|MA|=|MB|,得
(x-1)2+(-2)2+(z+1)2
=(x-2)2+(z-2)2,
整理得x+3z-1=0.
故点M的轨迹是xOz平面内的一条直线.
5.B ∵点B是xOy平面内直线x+y=1上的动点,∴可设点B(m,1-m,0),
由空间两点间的距离公式,得|AB|
=(-1-m)2+[-1-(1-m)]2+(2-0)2
=2m2-2m+9,
令t=2m2-2m+9=2m-122+172,
当m=12时,t取最小值,为172,
所以当m=12时,|AB|的值最小,为172=342,即A,B两点间的距离最小为342,
故选B.
6.答案 4
解析 因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为32,AB=2BC=4,所以AA1=4.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设E(2,y,z),则点E到直线AA1的距离为|y|,点E到直线CD的距离为4+z2,故|y|=4+z2.
而D1(0,0,4),故|D1E|=4+y2+(z-4)2=2z2-8z+24,
令t=2z2-8z+24=2(z-2)2+16,
当z=2时,t取最小值,为16,
所以当z=2时,|D1E|的值最小,为16=4.
7.解析 (1)由题意得D(0,0,0),N(2,1,0),M(1,2,3).
(2)由空间两点间的距离公式,
可得|MD|=12+22+32=14,
|MN|=(1-2)2+(2-1)2+(3-0)2=11.
(3)依题意可设点P的坐标为(2y,y,0),其中y∈[0,1],
则|MP|=(2y-1)2+(y-2)2+(0-3)2
=5y2-8y+14=5y-452+545.
当y=45时,线段MP取得最小值,为545,即3305.
故线段MP长度的最小值为3305.
8.解析 如图,连接OA,过点P作PE⊥OA于点E,则PE垂直于xOy平面.
设点P的横坐标为x(0≤x≤1),则由正方体的性质可得点P的纵坐标也为x.
由正方体的棱长为1,得|AE|=2(1-x).
因为|AE||AO|=|PE||BO|,所以|PE|=2(1-x)2=1-x,所以P(x,x,1-x).
又因为Q是CD的中点,所以Q0,1,12,
所以|PQ|=(0-x)2+(1-x)2+-12+x2
=3x2-3x+54=3x-122+12,
所以当x=12时,|PQ|min=22,即当点P的坐标为12,12,12时,|PQ|的值最小,最小值为22.