湘教版（2019）必修 第二册3.4 复数的三角表示习题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册3.4 复数的三角表示习题，共6页。试卷主要包含了复数12-32i的三角形式是，把下列复数表示成三角形式，把下列复数表示成代数形式，计算等内容，欢迎下载使用。

题组一 复数的三角表示
1.复数12-32i的三角形式是( )
A.cs-π3+isin-π3B.cs π3+isin π3
C.cs π3-isin π3D.cs π3+isin 5π6
2.复数z=sin 15°+ics 15°的三角形式是( )
A.cs 195°+isin 195°B.sin 75°+ics 75°
C.cs 15°+isin 15°D.cs 75°+isin 75°
3.(多选)下列各角可以作为复数33-3i的辐角的是( )
A.-π6B.11π6C.-π3D.5π3
题组二 复数代数形式与三角形式的互化
4.把下列复数表示成三角形式.
(1)-1-i;(2)ai(a<0);(3)-3(sin θ-ics θ).
5.把下列复数表示成代数形式.
(1)z1=3cs π4+isin π4;
(2)z2=3cs 4π3+isin 4π3;
(3)z3=22cs 7π6-isin 7π6.
题组三 复数三角形式的乘、除运算
6.如果θ∈π2,π,那么复数(1+i)(cs θ-isin θ)的三角形式是( )
A.2cs9π4-θ+isin9π4-θ
B.2[cs(2π-θ)+isin(2π-θ)]
C.2csπ4+θ+isinπ4+θ
D.2cs3π4+θ+isin3π4+θ
7.设复数z1=1+3i,z2=3+i,则z1z2的一个辐角是 .
8.计算:
(1)8cs 43π+isin 43π×4cs 56π+isin 56π;
(2)3(cs 225°+isin 225°)÷[2(cs 150°+isin 150°)];
(3)4÷cs π4+isin π4.
题组四 复数三角形式乘、除运算的几何意义
9.把复数1+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转π2,所得到的向量对应的复数是 .
10.已知向量OZ对应的复数为-2i,把OZ绕原点O按顺时针方向旋转45°后,再把模变为原来的32倍得到向量OZ1,则OZ1对应的复数为 .(用代数形式表示)
11.在复平面内,把复数3-3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3,求所得向量对应的复数.
答案全解全析
基础过关练
1.A 依题意得,r=122+-322=1,cs θ=12,复数12-32i在复平面内对应的点在第四象限,所以arg12-32i=5π3,所以 12-32i=cs 5π3+isin 5π3=cs2π-π3+isin2π-π3=cs-π3+isin-π3.
2.D z=sin 15°+ics 15°=cs 75°+isin 75°,故选D.
3.AB 依题意得,r=(33)2+(-3)2=6,cs θ=336=32,复数33-3i在复平面内对应的点在第四象限,所以arg(33-3i)=11π6,所以2kπ+11π6(k∈Z)都可以作为复数33-3i的辐角,结合选项可知,A、B正确.
4.解析 (1)依题意得,r=2,cs θ=-22,复数对应的点在第三象限,
所以-1-i的辐角为5π4.
所以-1-i=2cs 5π4+isin 5π4或-1-i=2cs-3π4+isin-3π4.
(2)因为a<0,所以r=|a|=-a,复数对应的点在y轴的负半轴上,取θ=-π2,
所以ai=-acs-π2+isin-π2.
(3)-3(sin θ-ics θ)=3(-sin θ+ics θ)
=3csπ2+θ+isinπ2+θ.
5.解析 (1)z1=3cs π4+3isin π4=322+322i.
(2)z2=3cs 4π3+3isin 4π3=-32-32i.
(3)z3=22cs 7π6-22isin 7π6=-6+2i.
6.A 因为1+i=2cs π4+isin π4,
cs θ-isin θ=cs(2π-θ)+isin(2π-θ),
所以(1+i)(cs θ-isin θ)
=2csπ4+2π-θ+isinπ4+2π-θ
=2cs9π4-θ+isin9π4-θ.
7.答案 π6(答案不唯一)
解析 由题得,z1=2cs π3+isin π3,z2=2cs π6+isin π6,
所以z1z2的一个辐角是π3-π6=π6.(答案不唯一)
8.解析 (1)8cs 4π3+isin 4π3×4cs 5π6+isin 5π6
=32cs4π3+5π6+isin4π3+5π6
=32cs 13π6+isin 13π6
=32cs π6+isin π6
=3232+12i
=163+16i.
(2)3(cs 225°+isin 225°)÷[2(cs 150°+isin 150°)]
=32[cs (225°-150°)+isin(225°-150°)]
=62(cs 75°+isin 75°)
=626-24+6+24i
=3-34+3+34i.
(3)4÷cs π4+isin π4
=4(cs 0+isin 0)÷cs π4+isin π4
=4cs-π4+isin-π4
=22-22i.
9.答案 -1+i
解析 由题意得,所求复数为(1+i)·cs π2+isin π2=(1+i)i=-1+i.
10.答案 -322-322i
解析 OZ1对应的复数为-2i·32cs -π4+isin-π4
=-2i324-324i=-322-322i.
11.解析 由题意得,
(3-3i)cs π3+isin π3
=(3-3i)12+32i
=3+3i,
(3-3i)cs-π3+isin-π3
=(3-3i)12-32i
=-23i.
故把复数3-3i对应的向量按逆时针方向旋转π3后得到的复数为3+3i,按顺时针方向旋转π3后得到的复数为-23i.