专题10 一元一次不等式（组）（学案）

这是一份专题10 一元一次不等式（组）（学案），共28页。

2021年中考数学一轮专题复习
学案10 一元一次不等式（组）

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
一元一次不等式
①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质；
②会解简单一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.
常以选择题、填空题、解答题等题型考查不等式的三条基本性质和一元一次不等式的解法.
2
一元一次不等式组
会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集.
常以选择题、填空题、解答题考查一元一次不等式组的解法.
3
一元一次不等式（组）的应用
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题.
以不等式（组）类应用题考查不等式（组）解决实际问题的能力.

思维导图


知识点1： 不等式及其性质


知识点梳理

1. 不等式：用不等号（“＞”或“≥”或“＜”或“≤”或“≠”）表示不等关系的式子，叫做不等式．
2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值．
3. 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
4. 解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
5. 不等式基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变．
若a＞b，则a±c＞b±c．
（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或）．
（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或）．
典型例题

【例1】（2019·北京市7/28）用三个不等式a＞b，ab＞0，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题与定理．
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则；真命题：
理由：∵a＞b，ab＞0，
∴a＞b＞0，
∴；
②若ab＞0，，则a＞b，真命题；
理由：∵ab＞0，
∴a、b同号，
∵，
∴a＞b；
③若a＞b，，则ab＞0，真命题；
理由：∵a＞b，，
∴a、b同号，
∴ab＞0
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．
【例2】（2019•呼和浩特6/25）若不等式的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x﹣1)+5＞5x+2(m+x)成立，则m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＜ C．m＜ D．m＞
【答案】解：解不等式得： ，
∵不等式的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3(x﹣1)+5＞5x+2(m+x)成立，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
【例3】当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（　　）
　 A．a＞－1 B．a＞－2 C．a＞0 D．a＞－1且a≠0
【考点】不等式的性质．.
【分析】当x=1时，a+2＞0；当x=2，2a+2＞0，解两个不等式，得到a的范围，最后综合得到a的取值范围．
【解答】解：当x=1时，a+2＞0
解得：a＞﹣2；
当x=2，2a+2＞0，
解得：a＞﹣1，
∴a的取值范围为：a＞﹣1．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．

知识点2： 一元一次不等式及其解法


知识点梳理

1. 一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
2. 一元一次不等式的解法：
一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知项的系数化为1.
典型例题

【例4】（2020•安徽15/23）解不等式：．
【考点】解一元一次不等式
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：2x-1＞2，
移项，得：2x＞2+1，
合并，得：2x＞3，
系数化为1，得：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【例5】（2018·巴彦淖尔4/24）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞，则m的最小整数解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】方程组中的两个方程相减得出x﹣y＝3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【答案】解：，
①﹣②得：x﹣y＝3m+2，
∵关于x，y的方程组的解满足，
∴，
解得：，
∴m的最小整数解为﹣1，
故选：C．
知识点3： 一元一次不等式组及其解法


知识点梳理

1. 一元一次不等式组的定义：把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成一个一元一次不等式组．
2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集．
3. 解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
4. 一元一次不等式组的解法：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
5. 解集在数轴上的表示（令a＞b）：


x＞a
大大取大


x＜b
小小取小


b 大小小大取中间


无解
大大小小无处找
6. 一元一次不等式（组）的特殊解：先求出不等式组的解集，再求出符合条件的特殊解即可．
典型例题

【例6】（2020•赤峰6/26）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．有
【答案】C
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式﹣2x+4≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
【例7】（2020•上海20/25）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
【解答】解：，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＜5．
故原不等式组的解集是2＜x＜5．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【例8】（2020•兴安盟•呼伦贝尔8/26）不等式组的非负整数解有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点】一元一次不等式组的整数解
【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞-2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：-2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，共5个，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组的解集及其非负整数解是关键．

知识点4： 一元一次不等式（组）的实际应用


知识点梳理

1. 一元一次不等式（组）的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式（组），解不等式（组），作答．
2. 基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式（组）解答．
典型例题

【例9】（2020•重庆B卷7/26）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元，小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】设还可以买x个作业本，根据总价=单价×数量结合总价不超过40元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：设还可以买x个作业本，
依题意，得：2.2×7+6x≤40，
解得：．
又∵x为正整数，
∴x的最大值为4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【例10】（2020•宁夏15/26）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 ．
【考点】一元一次不等式组的应用
【分析】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），根据给定的三个条件，即可得出关于a，b的二元一次不等式组，结合a，b均为整数即可得出b的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．
【解答】解：设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），
依题意，得：，
∵a，b均为整数
∴4＜b＜7，
∴b最大可以取6．
故答案为：6．
【点评】本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．

巩固训练

1.（2019·河北省4/26）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　）
A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5
2.（2020•吉林8/26）不等式的解集为 ．
3.（2020•海南4/22）不等式的解集为　　
A． B． C． D．
4.（2020•通辽20/26）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※．
（1）求※；
（2）若3※，求的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．

5.（2020•河南12/23）已知关于的不等式组，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ．

6.（2020•山西6/23）不等式组的解集是　　
A． B． C． D．
7.（2020•天津19/25）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　　；
（Ⅱ）解不等式②，得　　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

8.（2020•陕西15/25）解不等式组：．
9.（2020•江西13（2）/23）解不等式组：．
10.（2020•广东8/25）不等式组的解集为　　
A．无解 B． C． D．
11.（2020•福建17/25）解不等式组：．
12.（2020•北京18/28）解不等式组：．
13.（2020•宁夏18/26）解不等式组：．
14.（2020•新疆兵团6/23）不等式组的解集是　　
A． B． C． D．
15.（2020•呼和浩特17（2）/24）已知是小于0的常数，解关于的不等式组：．
16.（2019•包头14/26）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是　 　．
17.（2020•鄂尔多斯17（1）/24）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
18.（2020•通辽24/26）某服装专卖店计划购进，两种型号的精品服装．已知2件型服装和3件型服装共需4600元；1件型服装和2件型服装共需2800元．
（1）求，型服装的单价；
（2）专卖店要购进，两种型号服装60件，其中型件数不少于型件数的2倍，如果型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
19.（2020•宁夏20/26）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买、两种防疫物品．如果购买种物品60件，种物品45件，共需1140元；如果购买种物品45件，种物品30件，共需840元．
（1）求、两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买、两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么种防疫物品最多购买多少件？
20.（2019•赤峰22/26）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：

（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
21.（2019·北京市23/28）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1

x1



第2组

x2
x2

x2


第3组







第4组



x4
x4

x4
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．
22.（2018·赤峰22/26）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
类别
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．
23.（2020•宁夏25/26）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27

脚长（毫米）







为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表
序号
1
2
3
4
5
6

鞋号
22
23
24
25
26
27

脚长







脚长
160
165
170
175
180
185

定义：对于任意正整数、，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号之间的关系式，与序号之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
巩固训练解析

1.（2019·河北省4/26）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（　　）
A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【分析】x的即x，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可．
【解答】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
2.（2020•吉林8/26）不等式的解集为 ．
【考点】解一元一次不等式
【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得答案．
【解答】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤．
3.（2020•海南4/22）不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式
【分析】直接利用一元一次不等式的解法得出答案．
【解答】解：
解得：．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确掌握解题步骤是解题关键．
4.（2020•通辽20/26）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※，如：1※．
（1）求※；
（2）若3※，求的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．

【考点】实数的运算；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于的不等式，解不等式即可得．
【解答】解：（1）※；
（2）3※，
则，
解得：，
将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．
5.（2020•河南12/23）已知关于的不等式组，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
【分析】根据关于的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出的取值范围即可．
【解答】解：，
关于的不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，先根据题意得出不等式组的解集是解答此题的关键．
6.（2020•山西6/23）不等式组的解集是　　
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“同大取大”来求不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故选：A．
【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
7.（2020•天津19/25）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　　；
（Ⅱ）解不等式②，得　　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得；
（Ⅱ）解不等式②，得；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.（2020•陕西15/25）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
9.（2020•江西13（2）/23）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10.（2020•广东8/25）不等式组的解集为　　
A．无解 B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11.（2020•福建17/25）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12.（2020•北京18/28）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．有
【答案】见试题解答内容
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，
解不等式，得：x＜2，
则不等式组的解集为1＜x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.（2020•宁夏18/26）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集．
【解答】解：由①得：，
由②得：，
所以，不等式组的解集是．
【点评】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集．
14.（2020•新疆兵团6/23）不等式组的解集是　　
A． B． C． D．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.（2020•呼和浩特17（2）/24）已知是小于0的常数，解关于的不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别解两个不等式得到，，再根据的范围得出，最后得到解集．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
是小于0的常数，
，
不等式组的解集为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解法．
16.（2019•包头14/26）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是　 　．
【解答】解：
由①得x＞﹣1；
由②得x＞k+1．
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴k+1≤﹣1，
解得k≤﹣2．
故答案为k≤﹣2．
17.（2020•鄂尔多斯17（1）/24）解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．
【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣，
解不等式②，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣＜x≤4，
∴不等式组的最小整数解为﹣2；
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础．
18.（2020•通辽24/26）某服装专卖店计划购进，两种型号的精品服装．已知2件型服装和3件型服装共需4600元；1件型服装和2件型服装共需2800元．
（1）求，型服装的单价；
（2）专卖店要购进，两种型号服装60件，其中型件数不少于型件数的2倍，如果型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设型服装的单价为元，型服装的单价为元，根据“2件型服装和3件型服装共需4600元；1件型服装和2件型服装共需2800元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型服装件，则购进型服装件，根据购进型件数不少于型件数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该专卖店需要准备元的货款，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设型服装的单价为元，型服装的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：型服装的单价为800元，型服装的单价为1000元．
（2）设购进型服装件，则购进型服装件，
依题意，得：，
解得：．
设该专卖店需要准备元的货款，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值．
答：该专卖店至少需要准备47000元货款．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19.（2020•宁夏20/26）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买、两种防疫物品．如果购买种物品60件，种物品45件，共需1140元；如果购买种物品45件，种物品30件，共需840元．
（1）求、两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买、两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么种防疫物品最多购买多少件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设种防疫物品每件元，种防疫物品每件元，根据“如果购买种物品60件，种物品45件，共需1140元；如果购买种物品45件，种物品30件，共需840元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买种防疫物品件，则购买种防疫物品件，根据总价单价购买数量结合总费用不超过7000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设种防疫物品每件元，种防疫物品每件元，
依题意，得：，
解得：．
答：种防疫物品每件16元，种防疫物品每件4元．
（2）设购买种防疫物品件，则购买种防疫物品件，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为383．
答：种防疫物品最多购买383件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.（2019•赤峰22/26）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：

（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，根据对话内容列出方程并解答；
（2）设小明可购买钢笔y支，根据两种物品的购买总费用不超过400元列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了（x+1）个，
依题意得：10（x+1）×0.85＝10x﹣17．
解得x＝17．
答：小明原计划购买文具袋17个．
（2）设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔（50﹣y）支，
依题意得：[8y+6（50﹣y）]×80%≤400﹣10×17+17．
解得y≤4.375．
即y最大值＝4．
答：小明最多可购买钢笔4支．
【点评】考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
21.（2019·北京市23/28）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1

x1



第2组

x2
x2

x2


第3组







第4组



x4
x4

x4
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【解答】解：（1）

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1

x1



第2组

x2
x2

x2


第3组


x3
x3

x3

第4组



x4
x4

x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4＝14③，x2+x4≤14④，
①+②+2③+④≤70得，x1+x2+x2+x3+2（x1+x3+x4）+x2+x4≤70，
∴3（x1+x2+x3+x4）≤70，
∴x1+x2+x3+x4≤，
∴x1+x2+x3+x4≤23，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为：23．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
22.（2018·赤峰22/26）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
类别
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价＝单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设折扣数为z，根据总价＝单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为：三．
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：，
解得： ．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3）设折扣数为z，
根据题意得：5×30×+7×40×＝258，
解得：z＝6．
答：折扣数为6．
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，
根据题意得：30×m+40×（10﹣m）≤200，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：至少购买A商品7件．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.（2020•宁夏25/26）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27

脚长（毫米）







为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表
序号
1
2
3
4
5
6

鞋号
22
23
24
25
26
27

脚长







脚长
160
165
170
175
180
185

定义：对于任意正整数、，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号之间的关系式，与序号之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；
（2）把用含有的式子表示出来，代入化简整理，再计算鞋号为42对应的的值，代入求解即可；
（3）首先计算，再代入求出的值即可．
【解答】解：（1）；
；
（2）由与解得：，
把代入得，
所以，
则：，即．
答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是；
（3）根据可知能被5整除，
，
，
将代入中得．
故应购买44号的鞋．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，读懂题意是解题的关键．