高中数学人教A版（2019）必修第二册常用29个结论
展开必修第二册常用29个结论
1．三点共线的等价转化
A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．
3．向量共线的充要条件的两种形式
(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；
(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
6．求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
7．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
8．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
9．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
10．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
11．|z|2＝||2＝z·.
12．特殊的四棱柱
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．
13．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
14．正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
15．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
16．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
17．三种平行关系的转化：
线线平行线面平行面面性质定理平行
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．
18．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
19．直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
20．三种垂直关系的转化：
线线垂直线面垂直面面垂直
21．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋λ(λ∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
22．证明空间任意四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥或∥)．
23．简单随机抽样和分层抽样在抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样．
24．利用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整各层容量，即先剔除各层中“多余”的个体．
25．平均数的性质
①若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，则ax1，ax2，…，axn的平均数为a；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b.
②若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这(M＋N)个数的平均数是.
③若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别是和，则x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数是＋.
26．方差的性质
若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的第一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性．
27．频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
28．巧用四个有关的结论
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；
(4)s2＝ (xi－)2＝x－2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．
29．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
