2021年北京朝阳区北京青年政治学院附属中学高二上学期期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区北京青年政治学院附属中学高二上学期期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 直线 x−y=0 的斜率是
A. 1B. −1C. π4D. 3π4

2. 圆 x−12+y2=1 的圆心和半径分别为
A. 0,1，1B. 0,−1，1C. −1,0，1D. 1,0，1

3. 若两条直线 2x−y=0 与 ax−2y−1=0 互相垂直，则实数 a 的值为
A. −4B. −1C. 1D. 4

4. 双曲线 x29−y2=1 的渐近线方程为
A. y=±3xB. y=±13xC. y=±3xD. y=±33x

5. 已知三条直线 m，n，l，三个平面 α，β，γ，下面说法正确的是
A. α⊥γ,β⊥γ⇒α∥βB. m⊥l,n⊥l⇒m∥n
C. m∥β,l⊥m⇒l∥βD. m∥n,n⊥γ⇒m⊥γ

6. 一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为
A. 53B. 103C. 203D. 253

7. “直线 l 的方程为 y=kx−2”是“直线 l 经过点 2,0”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

8. 椭圆的两个焦点分别为 F1−1,0 和 F21,0，若该椭圆与直线 x+y−3=0 有公共点，则其离心率的最大值为
A. 55B. 66−1C. 612D. 510

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 ．

10. 已知命题 p：∀x>1，x2−2x+1>0，则 ¬p 是 ．

11. 实数 x，y 满足 x−y+1≥0,x≤1,y≥−1, 若 m=2x−y，则 m 的最小值为 ．

12. 如图，在棱长均为 2 的正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，点 M 是侧棱 AA1 的中点，点 P 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 A1P∥平面BCM，则点 P 的轨迹的长度为 ．

13. 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD=2，则三棱锥 D−ABC 的顶点 D 到底面 ABC 的距离为 ．

14. 若曲线 Fx,y=0 上的两点 P1x1,y1，P2x2,y2 满足 x1≤x2 且 y1≥y2，则称这两点为曲线 Fx,y=0 上的一对“双胞点”．下列曲线中：① x220+y216=1xy>0；② x220−y216=1xy>0；③ y2=4x；④ ∣x∣+∣y∣=1．存在“双胞点”的曲线序号是 ．

三、解答题（共4小题；共52分）
15. 已知点 A−3,0，B1,0，线段 AB 是圆 M 的直径．
（1）求圆 M 的方程；
（2）过点 0,2 的直线 l 与圆 M 相交于 D，E 两点，且 ∣DE∣=23，求直线 l 的方程．

16. 如图，在正四棱锥 P−ABCD 中，点 M 为侧棱 PA 的中点．
（1）求证：PC∥平面BDM；
（2）若 PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．

17. 顶点在原点的抛物线 C 关于 x 轴对称，点 P1,2 在此抛物线上．
（1）写出该抛物线 C 的方程及其准线方程；
（2）若直线 y=x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求 △ABP 的面积．

18. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 D0,1，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过 M0,−13 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，判断点 D 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】由 x−y=0，得 y=x，所以直线 x−y=0 的斜率是 1．
2. D【解析】由圆的标准方程 x−12+y2=1 可以得到该圆的圆心是 1,0，半径是 1．
3. B【解析】因为两条直线 2x−y=0 与 ax−2y−1=0 互相垂直，所以 2a+2=0，解得 a=−1．
4. B【解析】双曲线 x29−y2=1 中 a=3，b=1，焦点在 x 轴上，故渐近线方程为 y=±13x．
5. D
【解析】三条直线 m，n，l，三个平面 α，β，γ，知：
在A中，α⊥γ,β⊥γ⇒α 与 β 相交或平行，故A错误；
在B中，m⊥l,n⊥l⇒m 与 n 相交、平行或异面，故B错误；
在C中，m∥β,l⊥m⇒l 与 β 相交、平行或 l⊂β，故C错误；
在D中，m∥n,n⊥γ⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得 m⊥γ，故D正确．
6. B【解析】如图所示，
三棱锥 P−ABC，点 P 在平面 ABC 的投影 D，
则四边形 ABCD 是矩形．
则三棱锥的体积 V=13×12×2×5×2=103．
7. A【解析】若直线 l 的方程为 y=kx−2，
则直线 l 过 2,0，是充分条件，
若直线 l 经过点 2,0，
则直线方程不一定是：y=kx−2，
比如直线：x=0，故不是必要条件．
8. A【解析】因为椭圆的两个焦点分别为 F1−1,0 和 F21,0，
所以由题意，c=1，
所以 e=ca=1a，
所以 a 越小 e 越大，而椭圆与直线相切时，a 最小，
设椭圆为 x2a2+y2a2−1=1，
把直线 x+y−3=0 代入，化简整理可得 2a2−1x2−6a2x+10a2−a4=0，
由 Δ=0，解得：a2=5，
于是 a=5，
emax=15=55．
第二部分
9. 2
【解析】根据题意可知焦点 F1,0，准线方程 x=−1，
所以焦点到准线的距离是 1+1=2．
10. ∃x>1，x2−2x+1≤0
【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即 ∃x>1，x2−2x+1≤0．
11. −3
12. 2
【解析】由题意，点 P 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 A1P∥平面BCM，则 P 的轨迹是平行于 BC 的一条线段，长度为 2．
13. 2
【解析】取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，
因为 AD=CD=2，∠ADC=90∘，
所以 AC=22，OD=12AC=2，OD⊥AC．
同理 OB=2，
因为 BD=2，
所以 OD2+OB2=BD2，
所以 OB⊥OD，
又 AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，AC∩OB=O，
所以 OD⊥平面ABC，
所以三棱锥 D−ABC 的顶点 D 到底面 ABC 的距离为 OD=2．
14. ①③④
【解析】由题意① x220+y216=1xy>0 在第一、三象限均单调递减，满足题意；
② x220−y216=1xy>0，在第一象限，单调递增，第三象限单调递增，不满足题意；
③ y2=4x，存在“双胞点”，比如 1,−2，4,−4，满足题意；
④ ∣x∣+∣y∣=1，存在“双胞点”，比如 0,1，1,0，满足题意．
第三部分
15. （1） 已知点 A−3,0，B1,0，线段 AB 是圆 M 的直径，
则圆心 M 的坐标为 −1,0．
又因为 ∣AM∣=2，
所以圆 M 的方程为 x+12+y2=4．
（2） 由（1）可知圆 M 的圆心 M−1,0，半径为 2．
设 N 为 DE 中点，则 MN⊥l，∣DN∣=∣EN∣=12×23=3，
则 ∣MN∣=4−32=1．
当 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=0，此时 ∣MN∣=1，符合题意；
当 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y=kx+2，
由题意得 ∣k−1+2∣k2+1=1，
解得 k=34，
故直线 l 的方程为 y=34x+2，即 3x−4y+8=0．
综上，直线 l 的方程为 x=0 或 3x−4y+8=0．
16. （1） 如图，在正四棱锥 P−ABCD 中，
连接 AC，设 AC∩BD=O，连接 MO，如图 1．
因为 ABCD 为正方形，则 O 为 AC 中点．
又因为 M 为侧棱 PA 的中点，
所以 MO∥PC．
又因为 PC⊄面BDM，MO⊂面BDM，
所以 PC∥平面BDM．
（2） 连接 PO，如图 2，
在正四棱锥 P−ABCD 中，
PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以 PO⊥BD．
又因为 BD⊥AC，AC∩PO=O，
且 AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，
所以 BD⊥平面PAC，
又因为 PA⊂平面PAC，
所以 BD⊥PA．
由（Ⅰ）得 MO∥PC，
又因为 PA⊥PC，则 MO⊥PA．
又 MO∩BD=O，且 MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，
所以 PA⊥平面BDM．
17. （1） 因为抛物线的顶点在原点，且关于 x 轴对称，
可设抛物线方程为 y2=2px（p>0），
由抛物线经过点 P1,2 可得 p=2．
所以抛物线方程为 y2=4x，
准线方程为 x=−1．
（2） 由 y2=4x,y=x,
得 x=0,y=0 或 x=4,y=4,
可得 ∣AB∣=42，
点 P 到直线 y=x 的距离 d=∣1−2∣2=22，
所以 S△ABP=14×42×22=2．
18. （1） 因为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过 D0,1，
所以 b=1．
因为一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，
所以 a=2
所以椭圆 C 的方程为 x22+y2=1．
（2） 以 AB 为直径的圆经过点 D，理由如下：
当直线 AB 与 x 轴垂直时，由题意知 D 在圆上，
当直线 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程为 y=kx−13．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由 y=kx−13,x22+y2=1,
得 92k2+1x2−12kx−16=0，
Δ=144k2+64×92k2+1>0，
x1+x2=4k32k2+1，x1x2=−1692k2+1，
DA=x1,y1−1，DB=x2,y2−1．
所以
DA⋅DB=x1x2+y1−1y2−1=x1x2+kx1−43kx2−43=1+k2x1x2−43kx1+x2+169=1+k2−1692k2+1−43k⋅4k32k2+1+169=0,
所以 DA⊥DB，
所以点 D 在圆上．
综上所述，点 D 一定在以 AB 为直径的圆上．