2021年北京朝阳区新教育实验学校（初中部）九年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区新教育实验学校（初中部）九年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=−x2 开口方向是
A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右

2. 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 成中心对称，则下列结论不成立的是
A. 点 A 与点 A′ 是对称点B. BO=B′O
C. AB∥A′B′D. ∠ACB=∠C′A′B′

3. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回， 再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 18

4. 如图，⊙O 的半径等于 4，如果弦 AB 所对的圆心角等于 90∘，那么圆心 O 到弦 AB 的距离为
A. 2B. 2C. 22D. 32

5. 已知在 Rt△ABC 中， ∠C=90∘ ， sinA=35 ，则 tanB 的值为
A. 43B. 45C. 54D. 34

6. 若点 2,5，4,5 是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是
A. 直线 x=1B. 直线 x=2C. 直线 x=3D. 直线 x=4

7. 2012 年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场，设小丽从家出发后所用时间为 t，小丽与比赛现场的距离为 s．下面能反映 s 与 t 的函数关系的大致图象是
A. B.
C. D.

8. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F，则下列结论中错误的是
A. ∠AEF=∠DECB. FA:CD=AE:BC
C. FA:AB=FE:ECD. AB=DC

二、填空题（共4小题；共20分）
9. 一个底面直径为 10 cm，母线长为 15 cm 的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度．

10. 二次函数 y=x2−mx+3 的图象与 x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到 m 的值是 ．

11. 如果关于 x 是方程 x2−x+m=0 有两个相等的实数根，那么 m 的值等于 ．

12. 如图，点 D0,3，O0,0，C4,0，B 在 ⊙A 上，BD 是 ⊙A 的一条弦．则 sin∠OBD= ．

三、解答题（共13小题；共169分）
13. 解方程：x−32+2xx−3=0．

14. 甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为 2 和 5，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为 4 和 9，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为 1，6，7．从这 3 个口袋中各随机取出一个小球．
（1）用树形图表示所有可能出现的结果；
（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．

15. 计算：π−10−27+2cs30∘+12−1．

16. 已知关于 x 的函数 y=mx2+m−3x−3．
（1）求证：无论 m 取何实数，此函数的图象与 x 轴总有公共点；
（2）当 m>0 时，如果此函数的图象与 x 轴公共点的横坐标为整数，求正整数 m 的值．

17. △ABC 内接于 ⊙O，AD 是 △ABC 的边 BC 上的高，AE 是 ⊙O 的直径，连接 BE，△ABE 与 △ADC 相似吗?请证明你的结论．

18. 如图，山顶建有一座铁塔，塔高 CD=30 m，某人在点 A 处测得塔底 C 的仰角为 20∘，塔顶 D 的仰角为 23∘，求此人距 CD 的水平距离 AB．
（参考数据：sin20∘≈0.342，cs20∘≈0.940，tan20∘≈0.364，sin23∘≈0.391，cs23∘≈0.921，tan23∘≈0.424）

19. 已知 △ABC 中，∠A=30∘，AB=6，BC=23，求 AC 的长．

20. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 ym 与水平距离 xm 之间满足函数表达式 y=ax−42+h．已知点 O 与球网的水平距离为 5 m，球网的高度为 1.55 m．
（1）当 a=−124 时，①求 h 的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m，离地面的高度为 125 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值．

21. 已知：如图，AB 是 ⊙O 的直径，E 是 ⊙O 外一点，过点 E 作 AB 的垂线 ED，交 BA 的延长线于点 D，EA 的延长线与 ⊙O 交于点 C，DC=DE．
（1）求证：DC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 sin∠ACD=55，⊙O 的半径为 5，求 AE 的长．

22. 如图，在 △ABC 和 △ADE 中，ABAD=BCDE=ACAE，点 B，D，E 在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE．

23. 已知抛物线 y=ax2−3a+1x+2a+1a≠0．
（1）求证：无论 a 为任何非零实数，该抛物线与 x 轴都有交点；
（2）若抛物线 y=ax2−3a+1x+2a+1 与 x 轴交于 Am,0，Bn,0 两点，m，n，a 均为整数，一次函数 y=kx+bk≠0 的图象经过点 Pn−1,n+1，Q0,a，求一次函数的表达式．

24. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A−1,−1，B0,−2，C1,1．
（1）求抛物线的解析式以及它的对称轴；
（2）求这个函数的最值．

25.
（1）如图 1：在 △ABC 中，AB=AC，当 ∠ABD=∠ACD=60∘ 时，猜想 AB 与 BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；
（2）如图 2：在 △ABC 中，AB=AC，当 ∠ABD=∠ACD=45∘ 时，猜想 AB 与 BD+CD 数量关系并证明你的结论；
（3）如图 3：在 △ABC 中，AB=AC，当 ∠ABD=∠ACD=β（20∘≤β≤70∘）时，直接写出 AB 与 BD+CD 数量关系（用含 β 的式子表示）．
答案
第一部分
1. B【解析】∵a=−1<0，
∴ 抛物线的开口向下．
2. D
3. C
4. C【解析】过点 O 作 OC⊥AB 于 C，
∵OA=OB=4，∠AOB=90∘，
∴AB=OA2+OB2=42，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴OC=12AB=22，
即 O 到 AB 距离为 22．
5. A
【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，则 sinA=ac，tanB=ba 和 a2+b2=c2．
由 sinA=35 知，若设 a=3k，则 c=5k，结合 a2+b2=c2，得 b=4k，
∴ tanB=ba=4k3k=43．
6. C
7. B【解析】小丽从家出发后 s 一开始逐渐减小，后又往回开 s 随之变大，和妈妈相遇聊的过程中 s 不变，继续开往比赛现场 s 又随之逐渐变小至 0．
8. B
第二部分
9. 120
【解析】设圆锥展开图的扇形圆心角为 n 度，则 10π=n⋅2π×15360，解得 n=120．
10. 4
11. 14
【解析】∵ 方程 x2−x+m=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=−12−4m=0，
解得 m=14，
故答案为：14．
12. 35
【解析】连接 OA，AD，AC，过 A 点作 AE⊥OD 垂足为 E．
∵∠COD=90∘，
∴D 、 A 、 C 共线．
∵D0,3，C4,0，
∴DC=5．
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD=ODCD=35．
第三部分
13. 方程左边因式分解，得
x−3x−3+2x=0,
即
x−33x−3=0,
所以
x−3=0 或 3x−3=0,
解得
x1=3,x2=1.
14. （1） 如图所示：

所以共有 12 种可能出现的结果；
（2） 这些线段能够成三角形（记为事件 A）的结果有 4 种：5,4,6；5,4,7；5,9,6；5,9,7，
所以 PA=412=13．
15. π−10−27+2cs30∘+12−1=1−33+2×32+2=3−23.
16. （1） 当 m=0 时，该函数为一次函数 y=−3x−3，它的图象与 x 轴有公共点．
当 m≠0 时，二次函数 y=mx2+m−3x−3．
Δ=m−32−4m×−3=m2−6m+9+12m=m2+6m+9=m+32．
∵ 无论 m 取何实数，总有 m+32≥0，即 Δ≥0，
∴ 方程 mx2+m−3x−3=0 有两个实数根．
∴ 此时函数 y=mx2+m−3x−3 的图象与 x 轴有公共点．
综上所述，无论 m 取何实数，该函数的图象与 x 轴总有公共点．
（2） ∵m>0，
∴ 该函数为二次函数，它的图象与 x 轴的公共点的横坐标为 x=−m−3±m+32m．
∴x1=−1，x2=3m．
∵ 此抛物线与 x 轴公共点的横坐标为整数，
∴ 正整数 m=1 或 3．
17. △ABE 与 △ADC 相似．
理由如：
在 △ABE 与 △ADC 中，
∵AE 是 ⊙O 的直径，
∴∠ABE=90∘．
∵AD 是 △ABC 的边 BC 上的高，
∴∠ADC=90∘．
∴∠ABE=∠ADC．
∵ 同弧所对的圆周角相等，
∴∠BEA=∠DCA．
∴△ABE∽△ADC．
18. 在 Rt△ABC 中，∠CAB=20∘，
∴BC=AB⋅tan∠CAB=AB⋅tan20∘．
在 Rt△ABD 中，∠DAB=23∘，
∴BD=AB⋅tan∠DAB=AB⋅tan23∘．
∴CD=BD−BC=AB⋅tan23∘−AB⋅tan20∘=ABtan23∘−tan20∘.
∴AB=CDtan23∘−tan20∘≈300.424−0.364=500m.
答：此人距 CD 的水平距离 AB 约为 500 m．
19. 分三种情况：
①当 △ABC 是锐角三角形时，
作 CD⊥AB 于 D，如图所示，
则 ∠ADC=∠BDC=90∘，
∵∠A=30∘，
∴AC=2CD．
设 CD=x，则 AC=2x，
由勾股定理得 AD=3x，
∴BD=6−3x，
在 Rt△BCD 中，由勾股定理得 CD2+BD2=BC2，
即 x2+6−3x2=232，
解得 x=3 或 x=23（均不合题意，舍去），
②当 △ABC 是钝角三角形时，作 CD⊥AB 于 D，如图所示，
同①得 CD2+BD2=BC2，即 x2+6−3x2=232，
解得 x=3 或 x=23（不合题意，舍去），
∴CD=3，
∴AC=23．
③当 △ABC 是直角三角形时，如图所示，
若 ∠B=90∘，则 AC=43，若 ∠C=90∘，则不符合题意．
综上所述，AC 的长为 23 或 43．
20. （1） ①当 a=−124 时，
y=−124x−42+h，
将点 P0,1 代入，得：−124×16+h=1，
解得：h=53；
②把 x=5 代入 y=−124x−42+53
得：y=−124×5−42+53=1.625，
∵1.625>1.55，
∴ 此球能过网．
（2） 把 0,1，7,125 代入 y=ax−42+h，
得：
16a+h=1,9a+h=125,
解得：
a=−15,h=215,∴a=−15
．
21. （1）
连接 OC．
∵DE=DC，
∴∠4=∠E．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2．
∵∠2=∠3，
则 ∠1=∠3，
∴∠4+∠1=∠E+∠3=90∘，
∴DC 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵∠4=∠E，
∴sin∠E=55．
设 AD=k，
则 AE=5k，ED=2k，
∴DC=2k．
在 Rt△OCD 中，由勾股定理得：OD2=DC2+OC2，
∴5+k2=2k2+52，
∴k=0（舍），k=253，
∴AE=5k=103．
22. ∵ 在 △ABC 和 △ADE 中，ABAD=BCDE=ACAE，
∴ △ABC∽△ADE，
∴ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAD=∠CAE．
∵ ABAD=ACAE，
∴ ABAC=ADAE，
∴ △ABD∽△ACE．
23. （1） Δ=−3a+12−4a×2a+1=a2−2a+1=a−12≥0.
∴ 无论 a 为任何非零实数，该抛物线与 x 轴都有交点．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2−3a+1x+2a+1 与 x 轴交于 Am,0，Bn,0 两点，
∴a≠1．
令 y=ax2−3a+1x+2a+1a≠0 中 y=0，得
ax2−3a+1x+2a+1=0.
解得
x=2,x=1+1a.
∵m，n，a 均为整数，
∴a=−1，m=0，n=2 或 m=2，n=0．
∵ 一次函数 y=kx+bk≠0 的图象经过点 Pn−l,n+l，Q0,a，
∴ 当 a=−1，n=2 时，有 P1,3，Q0,−1，解得 y=4x−1．
当 a=−1，n=0 时，有 P−1,1，Q0,−1，解得 y=−2x−1．
24. （1） 由已知，函数 y=ax2+bx+c 图像经过点 A−1,−1，B0,−2，C1,1 三点，得关于 a，b，c 的三元一次方程组
a−b+c=−1,c=−2,a+b+c=1.

解这个方程组，得
a=2,b=1,c=−2.
所以所求抛物线解析式为 y=2x2+x−2.
对称轴 x=−b2a=−14．
（2） ∵ a>0,
∴ 当 x=−14 时，函数有最小值，最小值为 y=−178．
25. （1） AB=BD+CD
【解析】
如图 1，延长 BD 至 E，使 BE=AB，连接 AE 、 CE，
∵ ∠ABD=60∘，
∴ △ABE 是等边三角形，
∴ AE=AB，∠AEB=60∘，
∵ AB=AC，
∴ AC=AE，
∴ ∠ACE=∠AEC．
∵ ∠ACD=60∘，
∴ ∠ACE−∠ACD=∠AEC−∠AEB，
即 ∠DCE=∠DEC，
∴ DE=CD，
∴ BE=BD+DE=BD+CD，
∴ AB=BD+CD．
（2） 猜想：2AB=BD+CD．
证明：
如图 2，过点 A 作 AE⊥AB 交 BD 的延长线于点 E，连接 CE，
∵ ∠ABD=45∘，
∴ △ABE 是等腰直角三角形，
∴ AE=AB，∠AEB=45∘．
∵ AB=AC，
∴ AC=AE，
∴ ∠ACE=∠AEC．
∵ ∠ACD=45∘，
∴ ∠ACE−∠ACD=∠AEC−∠AEB，
即 ∠DCE=∠DEC，
∴ DE=CD，
∴ BE=BD+DE=BD+CD．
在 Rt△ABE 中，AB=BE⋅cs∠ABD=BD+CD⋅cs45∘=22BD+CD，
即 2AB=BD+CD
（3） AB⋅csβ=BD+CD2（或变形）．
【解析】
过点 A 作 AF⊥BD 于点 F，延长 BD 到 E，使 EF=BF，连接 AE 、 CE，
则 AE=AB，
∴ ∠AEB=∠ABD=β．
∵ AB=AC，
∴ AC=AE，
∴ ∠ACE=∠AEC．
∵ ∠ACD=β，
∴ ∠ACE−∠ACD=∠AEC−∠AEB，
即 ∠DCE=∠DEC，
∴ DE=CD，
∴ BE=BD+DE=BD+CD．
在 Rt△ABF 中，AB⋅cs∠ABD=12BE，
即 AB⋅csβ=12BD+CD．