2018-2019学年山西省晋城市九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年山西省晋城市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列函数中，一定是二次函数的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）一元二次方程的根的情况是　　

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．没有实数根

3．（3分）正十二面体是五个柏拉图立体之一，属准晶体，结晶学全称为正五角十二面体，共有二十个顶点、三十条边和十二个面，且每一个面皆是正五边形．如图1所示的是一个正十二面体的日历，如图2所示的是小贤根据图1设计的一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“4”，其余的面标有“3”或“5”，将这枚骰子随机掷出后，“4”朝上的概率是　　

A． B． C． D．

4．（3分）抛物线的最大值为　　

A． B． C． D．

5．（3分）对于二次函数，下列结论正确的是　　

A．随的增大而增大 

B．图象关于直线对称 

C．图象开口向上 

D．无论取何值，的值总是负数

6．（3分）将二次函数的右边进行配方，正确的结果是　　

A． B． C． D．

7．（3分）已知二次函数的、的部分对应值如表：

则该函数的对称轴为　　

A．轴 B．直线 C．直线 D．直线

8．（3分）如图，是的直径，点，，均在上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

9．（3分）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是　　

A． B． C． D．

10．（3分）已知，，在函数为常数）的图象上，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）已知抛物线经过点，则　　．

12．（3分）已知在半径为5的中，弦的长为6，那么圆心到的距离为　　．

13．（3分）计算：　　．

14．（3分）某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是　　．

15．（3分）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则得到的二次函数的解析式是　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（10分）（1）解方程：

（2）计算：

17．（8分）已知抛物线过点，，，求此抛物线的对称轴和顶点坐标．

18．（9分）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴交于点．

（1）求点、、的坐标；

（2）求的面积．

19．（8分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯，约公元前400年一公元前347年）发现；将一条线段分割成长、短两条线段、，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，则点叫做线段的黄金分割点．如图，在中，点是线段的黄金分割点，且，．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

20．（7分）民间剪纸在山西是一种很普遍的群众艺术，并有极高的审美价值，被黄河水，黄土山养育的山西人民具有粗犷豪放、朴实敦厚的气质和性格，他们飞剪走纸，将自己的情思才华和美好的心愿都倾注在朝夕相伴的剪纸中，构成了特有的地域习俗与人文心态现有四张不透明的、背面完全一样的剪纸画卡片：

王沛玲将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片（不放回），再随机抽取一张卡片．

（1）王沛玲第1次抽取的卡片上的剪纸画是“一帆风顺”的概率是 　　．

（2）请你用列表法或画树状图法，帮助王沛玲求出2次抽取的卡片上的剪纸画一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的概率．

21．（8分）某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克的售价（元满足一次函数关系，其中部分数据如表：

（1）求与之间的函数表达式．

（2）设该商品每天的总利润为（元，求与之间的函数表达式（利润收入成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？

22．（12分）综合与实践

问题情境：我们在探索“圆”时，学习了圆周角与圆心角的关系定理及推论．请利用相关知识，思考下列问题：

如图1，是的直径，是上一定点，点在上运动，连接、并延长，交点为，求证：

实践操作：如图2，连接、，相交于点，连接并延长，交于点．

为的直径，，（依据）

，

，，

问题解决

（1）依据：　　．

（2）请按照上面的思路，写出该证明的剩余部分．

（3）当点运动到如图3所示的位置时，、相交于点，则是否成立？请说明理由．

23．（13分）如图，抛物线与轴交于，两点，且点的坐标为，与轴交于点，连接，，点是抛物线上在第二象限内的一个动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点．

（1）求，两点的坐标．

（2）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时取得最大值．

（3）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年山西省晋城市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列函数中，一定是二次函数的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、是二次函数，故本选项符合题意；

、当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；

、不是二次函数，故本选项不符合题意；

、不是二次函数，故本选项不符合题意；

故选：．

2．（3分）一元二次方程的根的情况是　　

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【解答】解：△，

方程没有实数根．

故选：．

3．（3分）正十二面体是五个柏拉图立体之一，属准晶体，结晶学全称为正五角十二面体，共有二十个顶点、三十条边和十二个面，且每一个面皆是正五边形．如图1所示的是一个正十二面体的日历，如图2所示的是小贤根据图1设计的一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“4”，其余的面标有“3”或“5”，将这枚骰子随机掷出后，“4”朝上的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：标有“4”的面数为3，共有12个面，故标有“4”的面朝上的可能性为．

故选：．

4．（3分）抛物线的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

函数有最大值，

故选：．

5．（3分）对于二次函数，下列结论正确的是　　

A．随的增大而增大 

B．图象关于直线对称 

C．图象开口向上 

D．无论取何值，的值总是负数

【解答】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线，函数有最大值0，当时，随的增大而增大．

故选：．

6．（3分）将二次函数的右边进行配方，正确的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：提出二次项系数得，，

配方得，，

即．

故选：．

7．（3分）已知二次函数的、的部分对应值如表：

则该函数的对称轴为　　

A．轴 B．直线 C．直线 D．直线

【解答】解：由表格可得，

该函数的对称轴是：直线，

故选：．

8．（3分）如图，是的直径，点，，均在上，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：为的直径，

的度数是，

，

的度数是，

的度数是，

，

故选：．

9．（3分）二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由二次函数的图象可得，

，，，

，

一次函数的图象经过第二、三、四象限，

故选：．

10．（3分）已知，，在函数为常数）的图象上，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

图象的开口向下，对称轴是直线，

关于直线的对称点是，

，

故选：．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）已知抛物线经过点，则　6　．

【解答】解：将代入，得：，

解得，

故答案为6．

12．（3分）已知在半径为5的中，弦的长为6，那么圆心到的距离为　4　．

【解答】解：作于，连接，如图，

，

，

在中，，

，

即圆心到的距离为4．

故答案为：4

13．（3分）计算：　　．

【解答】解：原式

．

故答案为．

14．（3分）某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是　13或12　．

【解答】解：当24是直角边时，由勾股定理得，斜边，

、分别为、的中点，

，

当24是斜边时，，

故答案为：13或12．

15．（3分）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则得到的二次函数的解析式是　　．

【解答】解：，

将二次函数的图象在平面直角坐标系中先向左平移2个单位长度所得函数解析式为：，即，

再把二次函数的图象向下平移5个单位长度所得函数解析式为：，即，

故答案为：．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（10分）（1）解方程：

（2）计算：

【解答】解：（1），

，

，

，

或；

（2）原式

；

17．（8分）已知抛物线过点，，，求此抛物线的对称轴和顶点坐标．

【解答】解：抛物线过点，，，

，

解得，，

，

此抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．

18．（9分）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴交于点．

（1）求点、、的坐标；

（2）求的面积．

【解答】解：（1），令，则，

令，即，

解得：或，

故点、、的坐标分别为：、、；

（2）的面积．

19．（8分）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯，约公元前400年一公元前347年）发现；将一条线段分割成长、短两条线段、，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，则点叫做线段的黄金分割点．如图，在中，点是线段的黄金分割点，且，．

（1）求证：；

（2）若，求的长．

【解答】（1）证明：点是线段的黄金分割点，且，

，

，

，

而，

，

；

（2）解：，

，

而，

，

点是线段的黄金分割点，且，

，

，

．

20．（7分）民间剪纸在山西是一种很普遍的群众艺术，并有极高的审美价值，被黄河水，黄土山养育的山西人民具有粗犷豪放、朴实敦厚的气质和性格，他们飞剪走纸，将自己的情思才华和美好的心愿都倾注在朝夕相伴的剪纸中，构成了特有的地域习俗与人文心态现有四张不透明的、背面完全一样的剪纸画卡片：

王沛玲将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片（不放回），再随机抽取一张卡片．

（1）王沛玲第1次抽取的卡片上的剪纸画是“一帆风顺”的概率是 　　．

（2）请你用列表法或画树状图法，帮助王沛玲求出2次抽取的卡片上的剪纸画一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的概率．

【解答】解：（1）从四张卡片中任意摸出一张，卡片上的剪纸画是“一帆风顺”的概率是．

故答案为：；

（2）将四张剪纸分别记为、、、，

列表如下：

所有等可能的情况数有12种，其中2次抽取的卡片上的剪纸画一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的有2种情况，分别为，，

所以2次抽取的卡片上的剪纸画一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的概率为．

21．（8分）某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克的售价（元满足一次函数关系，其中部分数据如表：

（1）求与之间的函数表达式．

（2）设该商品每天的总利润为（元，求与之间的函数表达式（利润收入成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设，

将、代入，

得：，

解得：，

则；

（2）

，

，

当时，取得最大值，最大值为2700，

故每千克的售价为70元时可获得最大利润，最大利润是2700元．

22．（12分）综合与实践

问题情境：我们在探索“圆”时，学习了圆周角与圆心角的关系定理及推论．请利用相关知识，思考下列问题：

如图1，是的直径，是上一定点，点在上运动，连接、并延长，交点为，求证：

实践操作：如图2，连接、，相交于点，连接并延长，交于点．

为的直径，，（依据）

，

，，

问题解决

（1）依据：　直径所对的圆周角是直角　．

（2）请按照上面的思路，写出该证明的剩余部分．

（3）当点运动到如图3所示的位置时，、相交于点，则是否成立？请说明理由．

【解答】解：（1）为的直径，由直径所对的圆周角是直角，

，

故答案为：直径所对的圆周角是直角；

（2）连接、，相交于点，连接并延长，交于点．

为的直径，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

；

（3）仍然成立，

理由如下：

如图3，连接，，过点作于，

为的直径，

，

，

，，

，

，

，，

，

，

，

23．（13分）如图，抛物线与轴交于，两点，且点的坐标为，与轴交于点，连接，，点是抛物线上在第二象限内的一个动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点．

（1）求，两点的坐标．

（2）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时取得最大值．

（3）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把点的坐标代入抛物线解析式得，

，

解得：，

令，则，

解得，，

，；

（2），，

设直线的解析式为，

，

，

直线的解析式，

点的横坐标为，，则点，

，

，

时，有最大值；

（3）存在，理由：

点、、的坐标分别为、、，

则，，，，

将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：，

直线的解析式为，

设的中点为，由中点坐标公式可得，

过的中点且与直线垂直直线的表达式为：，

①当时，如图1，

，

设：，则，

由勾股定理得：，

解得：或4（舍去，

故点；

②当时，如图1，

，

则，

，

，

③当时，

联立直线解析式和，

解得（不合题意，舍去），

综合以上可得点的坐标为：或．

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日期：2021/12/10 0:00:22；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122